det(tＡ)＝Σ sgn(σ)ａσ(1)1ａσ(2)2・・・ａσ(n)n 　　　　　　行列式の性質（２） 定理３.３.１ 　　　　　　　 ｄｅｔ（tＡ）＝ｄｅｔ（Ａ） det(tＡ)＝Σ sgn(σ)ａσ(1)1ａσ(2)2・・・ａσ(n)n σ ＝Σ sgn(σ－１)ａ1σ－１(1)ａ2σ－１(2)・・・ａnσ－１(n) σ－１ （ａσ(i)i　　ならば　ａiσ－１(i)）

＝ 定理３.３.２ ａ11 ０ ・・・ ０ ａ22 ・・・ ａ2n ａ21 ａ22 ・・・ ａ2n ＝ａ11 ・・・ ・・・ ・・・ ・・・ ａ11　 ０　 ・・・　 ０ ａ22　・・・　ａ2n ａ21　ａ22　・・・　ａ2n ＝ａ11 ・・・ ・・・ ・・・ ・・・ ・・・ ａn2　・・・　ａnn ａn1　ａn2　・・・　ａnn ａ11　 ０　 ・・・　 ０ ａ11　ａ21　・・・　ａn1 ａ21　ａ22　・・・　ａ2n ０　 ａ22　・・・ ａn2 ＝ ・・・ ・・・ ・・・ ・・・ ・・・ ・・・ ａn1　ａn2　・・・　ａnn ０　 ａ2n　・・・　ａnn ａ22　・・・　ａn2 ＝ａ11 ・・・ ・・・ ａ2n　・・・　ａnn

定理３.３.３ （１）１つの列をｃ倍すると行列式はｃ倍になる。 （２）１つの列が２つの列ベクトルの和である行列の行　　 　　　列式は、他の列は同じでその列に各々の列ベク 　　　トルをとった行列の行列式の和となる。 （３）２つ列行を入れ替えると行列式は－１倍になる。 （４） ２つの列が等しい行列の行列式は０である。 （５）１つの列に他の列の何倍かを加えても、行列式　　　 　　　は変わらない。

3 0 1 -7 0 -3 -5 8 2 3 4 -4 0 1 0 6 = 1 2 1 3 0 1 -1 8 1 1 2 -5 1 1 2 -5 1 1 2 -5 1 0 6 0 1 0 6 = ー = ー 1 -1 8 0 1 -1 8 -3 -5 8 0 -3 -5 8 1 0 3 1 0 0 1 1 = 2 = 2 = 2 = 16 1 1 4 1 1 1 5 13 -3 5 4 -3 5 13

Ａ Ｂ ０ Ｄ Ａ ０ Ｃ Ｄ Ａ ０ Ａ ＡＢ ｄｅｔ ＝ ｄｅｔ ＝ （－１）ｎｄｅｔ Ａ ＡＢ 定理３.３.４ 　　Ａ：ｒ次正方行列　　Ｂ：ｓ次正方行列　 　 ｄｅｔ　　　　　　 ＝　ｄｅｔ　　　　　　＝　ｄｅｔ（Ａ）ｄｅｔ（Ｄ） Ａ　Ｂ ０　Ｄ Ａ　０ Ｃ　Ｄ 定理３.３.５　　　　　Ａ，Ｂ：ｎ次正方行列 　　　　　　　 ｄｅｔ（ＡＢ）＝ｄｅｔ（Ａ）ｄｅｔ（Ｂ） Ａ　０ －Ｅ　Ｂ Ａ　ＡＢ －Ｅ　０ ｄｅｔ　　　　　　 ＝ ｄｅｔ　　　　　　　 　　　　　　　　　＝ （－１）ｎｄｅｔ　 －Ｅ　０ Ａ　ＡＢ

2 7 13 5 5 3 8 2 2 7 9 4 = 0 0 9 4 5 3 -2 1 0 0 -2 1 = -29・17 = -493 ac - bd ad + bc a b c d = -(ad + bc) ac - bd -b a -d c (ac – bd)2 + (ad + bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)

ａ11 ・・・ ａ1j ・・・ ａ1n Ａij＝ ａi1 ・・・ ａij ・・・ ａin ａn1 ・・・ ａnj ・・・ ａnn Ａ＝ 　　余因子行列とクラーメルの公式 ａ11 ・・・ ａ1j　・・・　ａ1n　　　　 ・・・ ・・・ ・・・ Ａij＝ ａi1 ・・・ ａij　 ・・・ ａin　　 ・・・ ・・・ ・・・ ａn1 ・・・ ａnj　・・・ ａnn 3 1 -2 4 0 3 -2 Ａ＝ 4 -3 0 Ａ12＝ Ａ22＝ 2 5 2 5 2 6 5

0 ･･･ 0 0 ･･･ 0 0 0 ･･･ 余因子展開 = + + ・・・ + ･･･ ｜Ａ｜＝ ＋ ＋・・・＋ ａ1j ａ1j 　 0 ･･･ 0 0 　 ･･･ 0 0 0 ･･･ 余因子展開 ａ2j ａ2j = + + ・・・ + ･･･ ａnj ａnj ａ11・・ａ1j・・ａ1n ａ11・・ ０ ・・ａ1n ａ11・・ ０ ・・ａ1n ｜Ａ｜＝ ＋　　　　　　　　 ＋・・・＋ ａ21・・ ０ ・・ａ2n ａ21・・ａ2j・・ａ2n ａ21・・ ０ ・・ａ2n ・・・ ・・・ ・・・ ・・・ ・・・ ・・・ ・・・ ・・・ ・・・ ａn1・・ ０ ・・ａnn ａn1・・ ０ ・・ａnn ａn1・・ａnj ・・ａnn ａ11・・ ０ ・・ａ1n ａij　 ａi1　 ・・・　ａin ・・ ・・ ・・ ０ 　 ａ11　・・・ ａ1n ａi1・・ ａij・・ ａin ＝ （－１）ｉ＋ｊ－２ ・・・ ・・・ ・・・ ・・ ・・ ・・ ０ 　 ａn1　・・・　ａnn ａn1・・ ０ ・・ａnn 　＝ （－１）ｉ＋ｊ ａij |Ａij|

｜Ａ｜＝ （－１）ｉ＋ｊ ａ1j |Ａij| ＋・・・＋ （－１）ｉ＋ｊ ａnj |Ａij| 　＝ Σ（－１）ｉ＋ｊ ａij |Ａij| i=1 第 ｊ 列に関する余因子展開 2 7 4 3 0 2 4 2 4 3 2 0 = -7 + 2 - 5 1 3 1 3 3 0 1 5 3 4 5 2 5 2 4 2 4 5 4 5 0 0 2 = -0 + 0 - 2 = -2 =6 8 3 7 3 7 8 7 8 7 8 3

余因子行列 Ａ＝［ａij］ ： ｎ次正方行列 ａ＊ij＝（－１）ｉ＋ｊ |Ａji| ~ Ａ＝［ａ＊ij］ ： Ａの余因子行列 ~ ~ ~ ~ 定理３.４.１ 　　　　　　　 ＡＡ＝ＡＡ＝ｄＥ　　（ｄ＝ｄｅｔ（Ａ）） ~ ~ 定理３.４.２ 　ｄｅｔ（Ａ） ≠ ０　ならば　Ａ　は正則で　　　　　 　 　　　　Ａ－１＝(１/ｄ)Ａ　である。　　（ｄ＝ｄｅｔ（Ａ）） ~ ~ (１/ｄ)ＡＡ＝Ｅ

~ ＡＡ＝［ｃij］ ｃij= Σａik ａ＊kj = Σ （－１）k＋ｊａik |Ａjk| ｉ＝ｊの場合 ｃii = Σ n ~ ＡＡ＝［ｃij］ ｃij= Σａik ａ＊kj k=1 n = Σ （－１）k＋ｊａik |Ａjk| k=1 ｉ＝ｊの場合 n ｃii = Σ （－１）k＋iａik |Ａik| 行列Ａの第 ｉ行に関する余因子展開 k=1 ＝ ｜Ａ｜ ｉ≠ｊの場合 n Ｂ：Ａの第ｊ行を第ｉ行　　　 　で置き換えた行列 ｃij = Σ （－１）k＋iａik |Ａjk| k=1 n （－１）k＋iｂjk |Ｂjk| = Σ 行列Ｂの第 ｊ行に関する余因子展開 k=1 ＝ ０

|ａ1・・・ｂ・・・ａn| ＝ |ａ1・・・ Σｘkａk・・・ａn| 定理３.４.３（クラーメルの公式） 　　　　Ａｘ＝ｂ　　　　　Ａ：ｎ次の正則行列　　　　　 　 　　ｘ＝　　　　　　　ｘi＝　　 ｘ1 ｉ ｄｅｔ［ａ1・・・ｂ・・・ａn］ ・・・ ｄｅｔ（Ａ） ｘn ｉ 　|ａ1・・・ｂ・・・ａn|　＝　 |ａ1・・・ Σｘkａk・・・ａn| 　 ＝Σｘk |ａ1・・・ ａk・・・ａn| ＝ｘi |ａ1・・・ ａi・・・ａn| ＝ｘi |Ａ|

x1 x2 ・・・ x n x21 x22 ・・・ x2 n xn-11 xn-12 ・・・ xn-1 n 特別な形の行列式 ・・・ ・・・ 　　特別な形の行列式 ヴァンデルモンドの行列式 　 　　　 1 1 　 ・・・　 1　　　　 x1 x2　 ・・・ x n　　 x21 x22　 ・・・ x2 n　　 ＝ Π (xj ー xi)　 　　　　 1 ≦i＜j≦ n 　 　　　 ・・・ ・・・ ・・・ xn-11 xn-12　 ・・・ xn-1 n　　 ＝ (－1)n(n-1)/2 Π (xi ー xj)　 　　　　 3 　 　　　 1 ≦i＜j≦ n 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 Π xi　 ＝ xi x2 x3 　　　　 i=1 　 　　　 Π (xj ー xi) ＝ (x3 ー x2) (x3 ー x1) (x2 ー x1) 　 　　　　 1 ≦i＜j≦ 3