数学 －－－＞ 抽象化、一般化 より複雑な関係ー＞解析学 一次関数 ｙ＝ａｘ＋ｂ より多くの要素ー＞線形代数 ｘ ｙ ｆ（ｘ） ｙ1 ｘ1 数学　－－－＞　抽象化、一般化 より複雑な関係ー＞解析学 一次関数 ｙ＝ａｘ＋ｂ より多くの要素ー＞線形代数 要素　　　　　　　関係　　　　　　　要素 ｘ ｙ ｆ（ｘ） ｙ1 ｘ1 ｙ2 ｘ2 線形 ・ ・ ・ ・ ｙm ｘn

　　　　連立１次方程式 要素　　　　　　　関係　　　　　　　要素 ｘ ｙ ｆ（ｘ） ｙ1 ｘ1 ｙ2 ｘ2 線形 ・ ・ ・ ・ ｙm ｘn ｘ ｂ Ａｘ

2x+3y=8 x+2y=5 -y= -2 x+2y=5 -y= -2 x =1 x =1 -y= -2 x =1 y= 2 (Ⅰ) 　　基本変形 2x+3y=8 (Ⅰ) x+2y=5 -y= -2 ①＋②×(-2) (Ⅱ) x+2y=5 -y= -2 (Ⅲ) x　　 =1 ②＋①×2 x　　 =1 (Ⅳ) ①と②を入れ替えた -y= -2 x　　 =1 (Ⅴ) y= 2 ②×(-1)

（１）１つの式を何倍か（≠０倍）する。 （２）２つの式を入れ替える。 （３）１つの式に他の式の何倍かを加える。 ・基本変形は可逆的である。 　　　　　　基本変形 　　連立１次方程式の基本変形 （１）１つの式を何倍か（≠０倍）する。 （２）２つの式を入れ替える。 （３）１つの式に他の式の何倍かを加える。 ・基本変形は可逆的である。 ・基本変形を行って得られる連立１次方程式 　は全て同等である。

行列の（行）基本変形 （１）１つの行を何倍か（≠０倍）する。 （２）２つの行を入れ替える。 （３）１つの行に他の行の何倍かを加える。 　　掃き出し法 基本変形を行って連立１次方程式を解く方法 係数行列を単純な形（単位行列）にする。 行列の（行）基本変形 （１）１つの行を何倍か（≠０倍）する。 （２）２つの行を入れ替える。 （３）１つの行に他の行の何倍かを加える。

2x+3y=8 x+2y=5 -y= -2 x+2y=5 -y= -2 x =1 x =1 -y= -2 x =1 y= 2 2 3 8 2 3 8 (Ⅰ) x+2y=5 1 2 5 -y= -2 ①＋②×(-2) 0 -1 -2 (Ⅱ) x+2y=5 1 2 5 -y= -2 0 -1 -2 (Ⅲ) x　　 =1 ②＋①×2 1 0 1 x　　 =1 1 0 1 (Ⅳ) ①と②を入れ替えた -y= -2 0 -1 -2 x　　 =1 1 0 1 (Ⅴ) y= 2 ②×(-1) 0 1 2

簡約な行列 簡約な行列 一般的な連立方程式を解くために、拡大係数行列を扱いやすい行列に変形する。 　　　簡約な行列　　　　 　一般的な連立方程式を解くために、拡大係数行列を扱いやすい行列に変形する。 行列の零ベクトルでない行ベクトルの０でない最初の成分－＞その行の主成分 　　簡約な行列 （１）行ベクトルのうち零ベクトルがあれば、それは零ベクトルでないものよりも下にある。 （２）零ベクトルでない行ベクトルの主成分は１である。 （３）第ｉ行の主成分をａiji とすると、ｊ1＜ｊ2＜ｊ3＜・・・となる。 　　　すなわち各行の主成分は、下の行ほど右にある。 （４）各行の主成分を含む列の他の成分は全て０である。すなわち、 　　第ｉ行の主成分がａijiならば、第ｊi 列のａiji以外の成分は全て０である。

　簡約な行列の例 主成分：各行の最初の１ 0 1 3 0 2 1 0 1 4 0 -1 0 0 0 1 1 0 1 7 -4 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 1 0 0 2 3 0 0 1 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 6 0 3 0 0 0 0 0 0 1 2 8 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 2 3 2 0 1 2 -3 -2 1 ③×(1/2) 0 3 6 -9 -4 7 0 0 0 1 3/2 1 0 2 4 -6 -4 2 0 0 0 0 2 4 ② 0 2 4 -6 -4 2 ①と③を入替 0 1 2 0 5/2 4 ①＋②×3 0 3 6 -9 -4 7 0 0 0 1 3/2 1 0 0 0 2 3 2 0 0 0 0 2 4 0 1 2 -3 -2 1 ①×(1/2) 0 3 6 -9 -4 7 0 1 2 0 5/2 4 0 0 0 2 3 2 0 0 0 1 3/2 1 ③×(1/2) 0 0 0 0 1 2 0 1 2 -3 -2 1 ①＋③×(-5/2) ②＋①×(-3) 0 0 0 0 2 4 0 1 2 0 0 -1 0 0 0 2 3 2 0 0 0 1 0 -2 ② ＋③×(-3/2) 0 0 0 0 1 2

行列の簡約化 行列の階数 行列Aに基本変形を繰り返して簡約な行列Bを得る ー＞行列Aを簡約化する。 行列B：行列Aの簡約化 定理２.２.１ 　　行列の簡約化 行列Aに基本変形を繰り返して簡約な行列Bを得る 　ー＞行列Aを簡約化する。　　行列B：行列Aの簡約化 定理２.２.１ 　任意の行列は、基本変形を繰り返すことにより簡約化できる。また、与えられた行列の簡約化は唯一通り定まる。 　　行列の階数 行列Ａの階数：rank(Ａ) rank(Ａ)＝Ｂの零ベクトルでない行の個数 rank(Ａ)＝Ｂの行の主成分を含む列の個数 Ｂ：行列Aの簡約化 定理２.２.２ 　Ａがｍ×ｎ行列ならば 　　　　rank(Ａ)≦ｍ，　　rank(Ａ)≦ｎ

rank［Ａ：ｂ］＝rank(Ａ) または rank(Ａ)＋１ 　　　　連立１次方程式を解く rank［Ａ：ｂ］＝rank(Ａ)　または　 rank(Ａ)＋１ rank［Ａ：ｂ］＝rank(Ａ)＋１　の場合 1 0 0 0 1 ＊ 0 ・ 0 1 ・ ……. 0 1 0 0 ………… 0 1 0 ………… 0 0 ・ ・ ・ ・ ・ ・ 0 ………… 0 0 0x1+0x2+ ･････ +0xn = 1 　ー＞ Ａｘ＝ｂ は解をもたない

x1 x2 x3 x4 x5 1 0 -1 0 -2 1 0 1 1 0 1 -2 -1 0 1 1 1 3 2 1 -1 0 -3 1 1 0 -1 0 -2 1 0 1 1 0 1 -2 0 0 0 1 -1 4 ③＋① 0 1 1 0 1 -1 ④＋①×(-2) 1 0 -1 0 -2 1 0 1 1 0 1 -2 0 0 0 1 -1 4 0 0 0 0 0 1 ④＋②×(-1) 1 0 -1 0 -2 0 ①＋④×(-1) 0 1 1 0 1 0 ②＋④×2 0 0 0 1 -1 0 ③＋④×(-4) 0 0 0 0 0 1

x1 x2 x3 x4 x5 x = c１ x = c2 c１ c2 x1ー2x2 + 3x4 = 2 x1= 2 +2c１ー3c2 1 -2 0 3 0 2 1 -2 1 2 1 2 2 -4 1 5 2 5 1 -2 0 3 0 2 0 0 1 -1 1 0 ②＋①×(-1) 0 0 1 -1 2 1 ③＋①×(-2) 1 -2 0 3 0 2 0 0 1 -1 1 0 0 0 0 0 1 1 ③＋②×(-1) 1 -2 0 3 0 2 0 0 1 -1 0 -1 ②＋③×(-1) 0 0 0 0 1 1 x = c１ x = c2 とする。 c１ c2 2 4 x1ー2x2 + 3x4 = 2 x1= 2 +2c１ー3c2 x3ー x4 = -1 x3= -1 + c2 x5 = 1 x5 = 1

x1 2 +2c1ー3c2 x2 c1 x ＝ ＝ x3 -1 + c2 x c2 x 1 2 +2c1ー3c2 c1 4 x 1 5 2 +2c1ー3c2 20 -1 01 21 0 00 -3 0 1 1 0 c1 x ＝ ＝ + c1 + c2 (c1, c2∈Ｒ) -1 + c2 c2 1

連立１次方程式 Ａｘ＝ｂ が解をもつ必要十分条件は 定理２.３.１ 　連立１次方程式 Ａｘ＝ｂ が解をもつ必要十分条件は 　　　　rank［Ａ：ｂ］＝rank(Ａ)　　である。 定理２.３.２ 　ｎ変数の連立１次方程式 　　　　　　　　　　　　　　Ａｘ＝ｂ に解が唯一つ存在する必要十分条件は 　　　　　　　　 rank(Ａ) ＝rank［Ａ：ｂ］＝ｎ．

同次形の連立１次方程式 Ａｘ＝ｂ において ｂ＝０ のとき Ａｘ＝０ －＞ 同次形の連立１次方程式 定理２.３.３ 　　　　　Ａｘ＝０　　　　－＞　同次形の連立１次方程式 　　　　　　　　ｘ＝０　　　　－＞　自明な解 Ａｘ＝ｂ　　において　　ｂ＝０　のとき 定理２.３.３ （１）同次形の連立１次方程式 　　　　　　　　　Ａｘ＝０　　　　　（Ａ：ｍ×ｎ行列） 　　の解が自明なものに限る必要十分条件は 　　　　　　　　 rank(Ａ) ＝ｎ． （２）ｍ＜ｎ　ならば　Ａｘ＝０　は自明でない解をもつ．

ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅn Ａ：ｎ次正方行列 －＞ Ｂ：Ａの逆行列 逆行列 ・Ａが逆行列を持つとき、Aの逆行列はただ１つ決まる． 　　　　　　　　　　正則行列 　　逆行列 ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅn　　　　Ａ：ｎ次正方行列 　　　　－＞ 　　Ｂ：Ａの逆行列 ・Ａが逆行列を持つとき、Aの逆行列はただ１つ決まる． ・正方行列Ａは逆行列をもつとき 正則 であるという． 　　　　Ａ－１：Ａの逆行列 定理２.４.１ 　Ａ，Ｂはｎ次の正方行列で　ＡＢ＝Ｅ　ならば 　　　　　　　ＢはＡの逆行列である．

定理２.４.２ 　　Ａがｎ次正方行列のとき、次の（１）～（５）は同値である。 （１）　ｒａｎｋ（Ａ）＝ｎ． （２）　Ａの簡約化はＥnである． （３）　Ａｘ＝ｂ は任意のｎ次の列ベクトルｂ に対し 　　　唯一つの解を持つ． （４）　Ａｘ＝０　の解は自明な解 ｘ＝０ に限る． （５）　Ａは正則行列である．

1 0 ･･･ 0 0 1 ･･･ 0 0 0 ･･･ 1 e1 = , e2 = , ・・・ , en = Ax = e1 , Ax = e2 , ・・・ , Ax = en 　　解を各々 ci　とする Ac1 = e1 , Ac2 = e2 , ・・・ , Acn = en C = [c1 c2 ・・・ cn ] とする AC = A [c1 c2 ・・・ cn ] = [Ac1 Ac2 ・・・ Acn ] = [e1 e2 ・・・ en ] = En C はAの逆行列である：Ａ-1 = C [ A E ] ー> [ E A -1 ] （簡約化）