前回のまとめ Lagrangian を決める基準 対称性 局所性 簡単な形 変換 (Aq)I =D(A)IJ qJ 表現 D(AB)IK =D(A)IJD(B)JK 無限小変換 A=eiaX =1+iaX+O(a2), [Xm,Xn]=ifmnlXl D(A) =eiad(X) =1+iad(X)+O(a2), [d(Xm), d(Xn)]=ifmnld(Xl) 場の変換 (Af )i (Ax ) =D (A)ij fj (x) 時空の変換 x' =Ax　 状態の変換 回転群O(3) generator 既約表現は半整数 で指定される。 Lorentz群　 generator 既約表現は半整数 で指定される。 scalar field Lagrangian密度

自由scalar場の量子化 scalar 場 f 要請 (i) Lorentz不変性 (ii) f → -fで不変 (iii) f の2次まで Lagrangian 密度 = Lagrangian 運動方程式 これを　で微分 Klein Gordon方程式 正準共役運動量 正準交換関係 =量子条件 Hamiltonian

Klein Gordon 方程式 Klein Gordon方程式 量子条件 正準交換関係 =量子条件 Hamiltonian Hamiltonian

Klein Gordon 方程式 解 とおく 一般解 独立解 量子条件 Hamiltonian xとx+dxのf 混じる Normal modeで書く 負のenergy! f は状態でなく 演算子なのでOK 一般解 独立解 x0で微分 逆に解く 量子条件 Hamiltonian

Klein Gordon 方程式 量子条件 Hamiltonian ∫ E e-ik'xdx e-ik'xdx e-iEt e+iEt (2p)3d (k-k' ) + + ∫ i e-ik'xdx e-ik'xd3x e-iEt e+iEt 逆に解く (2p)3d (k-k' ) 量子条件 Hamiltonian

Klein Gordon 方程式 解 とおく 一般解 量子条件 Hamiltonian xとx+dxのf 混じる Normal modeで書く 負のenergy! f は状態でなく 演算子なのでOK e-ik'xdx ∫ E i + e-iEt 一般解 x0で微分 逆に解く 量子条件 Hamiltonian

eiEt (Ef(x)+ip(x))e-ikxdx , Hamiltonian e-iE't (E'f(y)-ip(y))e+ik'ydy Klein Gordon 方程式 xとx+dxのf 混じる 解 とおく Normal modeで書く 負のenergy! f は状態でなく 演算子なのでOK 一般解 x0で微分 逆に解く 量子条件 = [ eiEt (Ef(x)+ip(x))e-ikxdx ∫ , Hamiltonian e-iE't (E'f(y)-ip(y))e+ik'ydy ] ∫ ( = ∫ -i E id(x-y) - i E' id(x-y) ) eiEt e-iE't e-ikx eik'y dx dy

Klein Gordon 方程式 解 とおく 一般解 量子条件 真空状態 Hamiltonian Fock space 生成演算子 xとx+dxのf 混じる 解 とおく Normal modeで書く 負のenergy! f は状態でなく 演算子なのでOK 一般解 x0で微分 逆に解く 量子条件 真空状態 Hamiltonian Fock space 生成演算子 消滅演算子 Hamiltonian Normal mode!

Lagrangian をLorentz不変に書くため既約表現の場を使う 前回のスライドより scalar field right-handed Weyl spinor field Dirac spinor field vecrtor field left-handed Weyl spinor field Lorentz群の既約表現は で指定される。

right-handed Weyl spinor field left-handed Weyl spinor field right-handed Weyl spinor field left-handed Weyl spinor field

right-handed Weyl spinor field left-handed Weyl spinor field 状態空間上の無限小変換演算子u(X) Weyl spinor 場 表現 表現

Weyl spinor 場 表現 Weyl spinor 場 表現

Weyl spinor 場 表現 表現 表現 表現 Lorentz不変な演算子 例えば Lorentz不変なhermite演算子 Lagrangian density

Lagrangian density Lagrangian density

Lagrangian density = = y† g 0 = = y = y - Dirac行列 g 0 = = y = = = y g 0 g i = g m m ∂ Cliford algebra Dirac spinor = = Lagrangian density

Lagrangian density Lagrangian density

Lagrangian density equation of motion　　 　　Dirac equation

Lagrangian density

Lagrangian density quantization　 canonical conjugate momentum 　 quantization condition　 solution　 vacuum state Fock space particle antiparticle creation operator annihilation operator

discrete symmetry　P, T, C space inversion time reversal charge conjugation

P T C CPT Lorentzian invariant Lagrangian density

Electromagnetic field electric field magnetic field Maxwell equation　　 4-dimensional description　　 : totally anti-symmetric tensor

Electromagnetic field electric field magnetic field Maxwell equation　　 4-dimensional description　　 scalar potential j, vector potential A　　 gauge transformation E, B : invariant under gauge transformation : totally anti-symmetric tensor

require (i) vector field (dynamical variable) Maxwell eq.　　 (ii) Lorentzian invariance, locality Maxwell equation　　 (iii) gauge invariance (iv) simple interaction with the current Lagrangian density gauge transformation E, B : invariant under gauge transformation

require (i) vector field (dynamical variable) Maxwell eq.　　 (ii) Lorentzian invariance, locality (iii) gauge invariance (iv) simple interaction with the current Lagrangian density symmetric Euler equation = = = = anti-symmetric = Maxwell equation　　

positive frequency part Quantization of free electromagnetic field Am free-field Lagrangian canonical conjugate momentum quantization condition = ≠ ??? gauge fixing　 positive frequency part add 　 to　 and impose 　 the subsidiary condition physical states good! canonical conjugate momentum quantization condition

eq. of motion　 solution polarization vectors general solution Fock space vacuum state subsidiary condition　 creation operator annihilation operator

gauge invariant Lagrangian density　 complex scalar gauge transformation for matter field　 covariant derivative

まとめ 自由scalar場の量子化 Lagrangian 密度 運動方程式 Klein Gordon方程式 正準共役運動量 量子条件 Hamiltonian 一般解 Fock space 真空状態 生成演算子 消滅演算子 Hamiltonian

Dirac spinor = Dirac行列 g 0 = = Lagrangian密度 正準共役運動量 Dirac equation quantization condition　 solution　 vacuum state Fock space particle creation operator annihilation operator antiparticle creation operator annihilation operator

Electromagnetic field Lagrangian密度 gauge固定　 補助条件 canonical conjugate momentum quantization condition polarization vectors general solution Fock space vacuum state 補助条件 creation operator annihilation operator