古代の難問と曲線　(３時間目) 筑波大学大学院　教育研究科　１年 　　　　　　　　　　　　　　　　石井寿一

１．前回の復習 　『螺線について』のなかで接線の明確な定義は述べられていないが、「曲線と１点を共有し、その近くにおいてその曲線全体が直線のどちらか一方にあるような直線」と考えていたと推測される。

２．円積問題 　与えられた円の面積と、まったく等しい面積を有する正方形を作ること　　→　資料１日目 πｒ2 πｒ2

解決のカギは… ・螺線の接線 ・１時間目（事前課題）の問ｃ → 「与えられた直線図形に 等しい面積の正方形を作ること」

全ての直線図形は正方形に等積変形できる。 円 正方形 の部分を如何にして行うかが課題

直線図形 円 と面積の等しい の存在をアルキメデスは知っていたのか？ アルキメデスの別の著作 『円と計測』を見てみよう。

３．『円の計測』 『円の計測』 命題１ 　全ての円は、直角を挟んでいる二つの辺のうちの１辺が、その円の直径の半分に等しく、もう一つの辺が円を囲む線に等しいような直角三角形に等しい。

「全ての円」は どんな直角三角形に等しいのか？ 「その円の直径の半分に等しく」→ 半径 「円を囲む線に等しい」　　　　　 → 円周 半 径 ＝ 円 周

【証明の方針】 　　「円の面積 ＝ 三角形Eの面積」であることを示す。もし、「円の面積 ＝ 三角形の面積」でないなら、次の２つのいずれかが成り立つ。 　　(1) 円の面積 ＞ 三角形Eの面積 　　(2) 円の面積 ＜ 三角形Eの面積 　　これらを仮定してそれぞれの場合で矛盾を導き、「円の面積 ＝ 三角形Eの面積」を得る。

『円の計測』命題１の証明（前半部） を読んで以下について考えてみよう。 １、前半部の証明で仮定している部分はどこだろう。 ２、下線ａ）のようになる過程を不等式で表してみよう。 ３、下線ｂ）のようになる課程を不等式で表してみよう。 ４、前半部の証明で矛盾している部分はどこだろう。

１、前半部の証明で仮定している部分はどこだろう。 仮定： 円ＡＢΓΔ ＞ 三角形Ｅ

２、下線ａ）のようになる 過程を不等式で表してみよう。 ２、下線ａ）のようになる 　　過程を不等式で表してみよう。 「引き続いてこの操作を繰り返すと」 円ＡＢΓΔ－三角形Ｅ ＞ 　　　円ＡＢΓΔ－内接多角形 よって 内接多角形 ＞ 三角形Ｅ

３、下線ｂ）のようになる 過程を不等式で表してみよう。 ３、下線ｂ）のようになる 　　過程を不等式で表してみよう。 NΞ＜三角形の１辺（＝円の半径） 多角形の周囲＜三角形の残りの１辺（円周） これより NΞ×多角形の周囲＜ 　　　　　　三角形の１辺×残りの１辺 多角形の面積の２倍＜三角形Eの２倍 よって 　　　　　内接多角形＜三角形E

４、前半の証明で矛盾している 部分はどこだろう。 ４、前半の証明で矛盾している 　　部分はどこだろう。 矛盾： 内接多角形＞三角形Ｅ 　　　　　と 内接多角形＜三角形Ｅ 　　という２つの結論

４．円周に等しい直線 『螺線について』　命題１８

『螺線について』 命題18 　もし直線が第1回転で描かれた螺線に、螺線の終端で接し、そして螺線の原点である点から回転の原線に垂直にある直線がひかれるならば、ひかれた直線は接線と交わり、接線と螺線の原点との間の線分の長さは、第1円の円周に等しいであろう。

つまり右図の場合 ＡＺ と第１円の円周が等しい。 円周に等しい直線ができる！ 『円の計測』命題１より 円と等しい面積の三角形が作れる！

こうなります！！！ 半 径 円 周 ＝

空欄を埋めて 証明（前半部）を完成させよう。 右のページに 現代の数式表記 左のページに 原典の日本語訳

証明 （前半部） (1) ＺＡ ＞（円ΘＫＨの円周）と仮定する。 そこで ＺＡ ＞ ΛＡ ＞（円ΘＫＨの円周）となる線分ΛＡをとる。 証明　（前半部） (1) ＺＡ ＞（円ΘＫＨの円周）と仮定する。 　　そこで　ＺＡ ＞ ΛＡ ＞（円ΘＫＨの円周）となる線分ΛＡをとる。 　　円ΘＫＨ上に点があり、ΘＨは直径より小さい。 ①

証明 （前半部） そして ΘＡ：ＡΛ ＞ ΘＡ：ＡＺ （∵ ＡΛ＜ＡＺ） であり、また ΘＡ：ＡＺ ＝ ΘＨ/2：（ＡからＨΘへの垂線） 証明　（前半部） 　　　そして　ΘＡ：ＡΛ ＞ ΘＡ：ＡＺ　　 　　　（∵ ＡΛ＜ＡＺ） 　　であり、また　 　　ΘＡ：ＡＺ ＝ ΘＨ/2：（ＡからＨΘへの垂線） 　　であるから　 　　ΘＡ：ＡΛ ＞ ΘＨ/2：（ＡからＨΘへの垂線） 　　となる。 ②

証明 （前半部） よって命題7より ＮＰ：ΘＰ ＝ ΘＡ：ＡΛ となるように ＺΘの延長上に点Ｎをとることができる。 証明　（前半部） 　　よって命題7より 　　　ＮＰ：ΘＰ ＝ ΘＡ：ＡΛ　　　 　となるように 　　ＺΘの延長上に点Ｎをとることができる。 　　それゆえ、ＡΘ ＝ ＡＰより 　　　ＮＰ：ＡＰ ＝ ΘＰ：ＡΛ ③ ③

証明 （前半部） ところで ΘＰ：ＡΛ ＜ 弧ΘＰ：(円ΘＫＨの円周） （∵ ΘＰ ＜ 弧ΘＰ、ＡΛ ＜ 円周） それゆえ 証明　（前半部） 　　ところで　　 　　ΘＰ：ＡΛ ＜ 弧ΘＰ：(円ΘＫＨの円周） 　　　　（∵　ΘＰ ＜ 弧ΘＰ、ＡΛ ＜ 円周） 　　それゆえ　 　　ＮＰ：ＰＡ ＜ 弧ΘＰ：（円ΘＫＨの円周）

証明　（前半部） したがって　 （ＮＰ＋ＰＡ）：ＰＡ ＜ （弧ΘＰ＋円ΘＫＨの円周）：（円ΘＫＨの円周） ∴ＮＡ：ＰＡ ＜

証明 （前半部） ところで命題１５より ＸＡ：ＡΘ ＝ (弧ΘＰ＋円ΘＫＨの円周):(円ΘＫＨの円周) ゆえに 証明　（前半部） 　ところで命題１５より　 　ＸＡ：ＡΘ ＝ 　(弧ΘＰ＋円ΘＫＨの円周):(円ΘＫＨの円周) 　ゆえに　 　　　ＮＡ：ＡＰ ＜ ＸＡ：ＡΘ　　―① ④ ④

証明 （前半部） しかし、 ＮＡ ＞ ＡＸ であり、ＡＰ ＝ ＡΘ なので ＮＡ：ＡＰ ＞ ＸＡ：ＡΘ ―② ①と②は矛盾 よって 証明　（前半部） しかし、 ＮＡ ＞ ＡＸ であり、ＡＰ ＝ ＡΘ　なので 　　　　ＮＡ：ＡＰ ＞ ＸＡ：ＡΘ　　―② ①と②は矛盾 よって　 　　ＺＡ ＞（円ΘＫＨの円周） ではない。 ⑤ ⑤ ⑥ ⑥

３日目のまとめ πｒ2 πｒ2 πｒ2

３時間のまとめ １時間目 アルキメデス螺線 と その性質 ２時間目 角の３等分 と 螺線の接線 ３時間目 螺線と円積問題 　　アルキメデス螺線　と　その性質 ２時間目 　　角の３等分　と　螺線の接線 ３時間目 　　螺線と円積問題 ３日間ありがとうございました