§6．無衝突ボルツマン方程式の平衡解 ★無衝突系の例：　楕円銀河 　定常状態としたらどのような 　状態か？（平衡解）　　 　　　　　　　　　現在の力学構造

★平衡解：以下を満たす解 　　　　　(strong)Jeans定理を応用　

★運動の積分 ◎意味があるのは、孤立積分(isolating integral) 積分量に対してある値を満たす軌道を考えたとき、 　位相空間でのその軌道の次元が全体に比べて減るとき 　例：エネルギー、運動量、角運動量 　反例：

○積分の例：　作用ー角変数　　　　　　　　　Jが積分量　　 例：１次元調和振動子

○CBEの任意の定常解 運動の積分を通してのみ ★Jeans Theorem ○CBEの任意の定常解　　　　運動の積分を通してのみ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　位相空間座標に依存 　 ○運動の積分の任意の関数　　　　　CBEの定常解 証明：

★Strong Jeans Theorem ほとんどすべての軌道が、規則的(regular)であるとき、 　定常状態の分布は、３つの独立な孤立積分の関数として 　あらわされるだろう。 　＊ただし、3つの基本周期が、通約できない(incommensurable)場合に限る　　

◎証明

○ほとんどすべての星が規則的運動 位相空間の至る所で、作用ー角変数が存在 例：１次元調和振動子

★定常解の例(Jeans定理の応用） I.球対称

一般には、self-consistentでなくてはいけない。 ★定常解の求め方 　　一般には、self-consistentでなくてはいけない。 　　つまり、どんな関数形でも解になるのではなくて、 　　ポアッソン方程式を満たさなくてはならない。

★Eddington’s formula 　　前式を次のように書き直す。

★具体例 　(1)PolytropesとPlummerモデル

　　Lane-Emden equation　　 星の構造を解くときにもよく用いられるもの

一般には、数値計算で解く。 しかし、解析解も存在。 ○n=5の場合： 　Plummerモデルと呼ばれる 　＊いくつかの球状星団とは一致。 　　銀河とは合わない

○等温解（isothermal solution)

○Kingモデル ＊質量が無限大になる等温分布を補正したもの ○Hernquistモデル 　 ＊楕円銀河の密度分布をかなり良く再現

○Jaffeモデル

○球対称非等方速度分散のモデル 　例：Osipkov-Merrittモデル

○球対称でない場合（一般） 　＊軸対称モデル 　　例：Evansモデル 　＊３軸不等楕円体（大きな楕円銀河） 　　　　　　　Stackel Potentialモデル 後述

*高精度位置天文観測データがでれば、directに位相空間分布 ◎fの例（今までは簡単な例。一部は正しいかも） ★現実の力学構造は？ 　　観測データとの比較 　　　　　　　　　　　観測データとの比較 　　　*高精度位置天文観測データがでれば、directに位相空間分布 　　　　　が比べられる。 　◎fの例（今までは簡単な例。一部は正しいかも） 　　　実際のバルジ、ディスク、ハローは？ 　　一般的なモデルを作成する必要性あり 　＊ハミルトニアン（重力ポテンシャル）をgiven 　　　　積分量を評価(Torus construction法など）　　 　　　　　fの関数形を仮定 　　モデル作りが必要：力学構造の構築法の開発

§7．緩和と力学構造 例：楕円銀河 　　　十分良い近似で自己重力多体系とみなす。 　　　　さらに、 　　　　　　　　　　　　無衝突系 　　　二体散乱による緩和は起こっていない！

しかし、・・・・ ＊楕円銀河：２体緩和していないが、楕円銀河には いくつかの共通点がある ○密度分布は、ドゥボークルールの１／４則 　　　　　　　　いくつかの共通点がある 　○密度分布は、ドゥボークルールの１／４則 　○回転サポートではない　　　　　速度分散の 　○ ３軸不等楕円体　　　　　　　　 非等方性　 　　　　　重力～速度分散による“圧力” 　力学構造の詳細は分からないが、共通の特徴がある 　　　　　　　ある種の“緩和”が起こっている 　　　　　　　　　　　　　　　　どういう緩和？

★楕円銀河の密度分布（光度分布）　　　 　◎ドゥボークルールの１／４則

Surma,Seifert and Bender（１９９０）

★速度分散の非等方性（回転サポートではない） ★速度分散の非等方性（回転サポートではない）　　　 　巨大楕円銀河(L>2.5×1010L　）は、ローテーション 　サポートではなく、速度分散の非等方性により偏平 　になっている。

★Tensor Virial Theorem

○Tensor Virial Theoremを用いる ★速度分散、回転速度、偏平度の関係 　　○Tensor Virial Theoremを用いる 　　○簡単のため、z軸周りの軸対称であるとする。 　　○銀河の中心方向への視線はx軸と一致するとする。

　　　Binney&Tremaine 「Galactic Dynamics」より

★観測との比較 　　　Binney&Tremaine 「Galactic Dynamics」より

◎巨大な楕円銀河は、回転サポートではない。 速度分散の非等方性により、形態が偏平に 維持されている。 三軸不等であろう。 実際、 　　速度分散の非等方性により、形態が偏平に 　　維持されている。 　　　　　　　　　一般には、軸対称とは考えにくい。 　　　　　　　　　　三軸不等であろう。 実際、 　　光度分布を２次元平面にprojectした場合、isophotの 　　twistが見られる。　　　　　三軸不等の証拠 　　　　　　　　　　　　　　　Madejsky&Mollenhoff(1990)など

◎以上のように、共通の特徴をもっていることから、 　　何らかの“緩和”を受けているようである 　　（しかし、２体散乱による緩和ではない） 　　　　　“緩和”するメカニズムは？ 　　　　　　また、その力学構造は？

★Violent Relaxation: Lynden-Bell(1967) ◎無衝突系の緩和過程 　　　　　　　　空間的、時間的に激しく振動 　　microscopic: phase mixing fは保存(Liouvilleの定理）。しかし、それはどんどん小さな 　　　スケールでの運動となる。 　　　　　　　macroscopic ：coarse-grained distribution function “平衡状態”に落ち着く

　★Violent Relaxation： Lynden-Bell(1967) 　　平均重力場の激しい時間的空間的変動による 　　位相分布のmixing 　　（ハミルトン系のカオスが起こる機構と同様）

★平衡状態での(coarse-grained)分布関数は？ ◎Lynden-Bell統計 ○ “非圧縮流体”のように運動 　　○　　　　　　　　　　　　　　　　　　　“非圧縮流体”のように運動 　　 ○phase mixing fの要素(element)は、位相空間内を複雑に 　　　　　　　　　　　　　　　　運動し、細分化 　fを十分小さい要素に分解し、要素は次の条件を満たすものとする。 　(1)要素の数は不変 　(2)全エネルギーは保存 　(3)要素の密度ηは一定：F=η（局所的な密度は非圧縮性のため保存） 　(4)要素の体積をωとする。

◎位相空間を多くの微細胞(micro-cell)に分割 ＊微細胞は、十分小さく、その位相体積は、fの要素の位相体積ωとする。 ＊micro-cellの中にelementが入れば、micro-cellの密度は、η、 　さもなくば、０。 ◎興味があるのは、巨視的構造　　　　 　micro-cellをν個（ν＞＞１）集めた巨細胞(macro-cell)

○非圧縮性のため、各要素は同一のmicro-cellを示すことは 　　できない。　　　　　排他律 ○各要素は区別できるものである。　　　　　　区別化 よって、場合の数は、

あり F-D分布 Lynden-Bell分布 参考： 　　　　　　　　　　区別不可　　　　　区別可 排他律なし　　　B-E分布　 　　　M-B分布 　　　　　あり　　　F-D分布　　　　　Lynden-Bell分布 ＊L-D分布の特徴　 　分布は星の質量に依らない 　（CBEの形は、星の質量に依らないので）

◎いくつかの数値実験 Lynden-Bell分布と ★問題点 　◎いくつかの数値実験　　　　　Lynden-Bell分布と 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一致しない 　　　deZeeuw et al(1991), Funato et al.(1992), Yanashiro et al.(1992) などなど 　◎L-D統計ーーー＞Maxwell分布ーーー＞等温分布 　　ーーー＞全質量が無限大 　　Lynden-Bell達は、violent relaxationの不完全性に 　　よって、この問題を回避しようとした 　　（後ででてくる、安定カオスと関連）

◎Lynden-Bell分布でないとすると、実際は 　どんな分布か？ ◎緩和過程はどうなっているか？ 　　その続きに行く前に・・・

★r1/4則は説明できるのか？ 　　Jaffe(1987), Makino et al.(1989)