パイプ風鈴の振動理論 どの様な振動をしているか。周波数は何で決まるか。 （結論） ・振動数は棒の長さＬの二乗に反比例する。 ・共振のモードは複数あり、それらが混合された波形となる。 ・両端フリーの時、振動の様子は下図のとおり。理論は次ページ以降。 振動の混合

断面積 Ｓ 断面２次モーメント I 密度 r 縦弾性係数 E のはりの微少部分が曲げ振動する場合を考える。 （理論） 　断面積 Ｓ 断面２次モーメント I 密度 r 縦弾性係数 E のはりの微少部分が曲げ振動する場合を考える。 　　Mは曲げモーメント、Vはせん断力、ｍは微少質量。 Y 曲げの式より、①　M=E・I・Y‘’ 曲げのつりあいから、 M(x)＝M(x＋δ）＋V・δ　 　よって、②　V＝－M’ ｙ方向の運動方程式より、 　V(ｘ＋δ）－V（ｘ）＝ｍ・ａ 　よって、③　Ｖ‘＝ρ・Ｓ・ａ 　、ａは加速度　　①②③より、 ④　ａ＝－（ＥＩ／ρＳ）・Y’’‘’ 　　　　・・・　波動方程式 Ｖ（ｘ＋δ） Ｍ（ｘ） Ｍ（ｘ＋δ） Ｖ（ｘ） X Ｘ　　Ｘ+δ Ｌ

一般に、　⑤　ａ＝－Ａ・Ｙ‘’‘’　の波動方程式は、 Ｙ＝F（ｔ）・G（ｘ）とすると、　特解は以下。ただしω＝（√A）・ｋ・ｋ　・・・⑧ F(t)＝exp（ｊωｔ）、exp（-ｊωｔ） の２つ G（ｘ）＝exp（ｊｋｘ）、exp（-ｊｋｘ） 、exp（ｋｘ）、exp（-kx)の４つある。 　よって、一般解は以下。 ⑥　Ｆ（ｔ）＝ｃ１・sinωｔ＋ｃ２・cosωｔ ⑦　Ｇ（ｘ）＝ａ・sinｋｘ＋ｂ・cosｋｘ＋ｃ・exp（ｋｘ）＋ｄ・exp（ｰｋｘ） ＜初期値条件＞ 無変形で振動開始したとすると、ｔ＝０でｙ＝０　よって、ｃ２＝０　

＜境界条件＞　両端単純支持の場合・・・弦の振動に近いモード Ｘ＝０でＹ＝０、M＝０ X=Lで　Ｙ=０、M=０ 境界条件より、ｃ４＝０　・・・⑩　　、　ｃ６＝ｃ５＝０　・・・⑪ 　　　　、　ｓｉｎ（ｋＬ）＝0　・・・⑫　　⇒　ｋＬ＝ｎ・π　、　ｎ＝１、２、３、・・・・ ⑧より、ω＝（√A）・ｋ・ｋ　＝（√A）・（ｎπ／L）２　　・・・⑨ また、一般解　Ｙ＝Ｆ（ｔ）・Ｇ（ｘ）とおくと、　Ｆ（ｔ）＝ｃ１・sin（ωｔ） G（ｘ）＝sin（ｋｘ）＝ｓｉｎ（ｎπｘ／Ｌ）　、ｎ＝１，２，３、・・・

（考察） 　Ｙ＝Ｓｉｎωｔ・ｓｉｎｋｘ　は進行波と後退波の合成としても表される。 　　＝［ｃｏｓ（ωｔ－ｋｘ）－ｃｏｓ（ωｔ＋ｋｘ）］／２ ｋ＝２π／λ　；λは波長 λ＝２π／ｋ　、ｋ＝ｎπ／Ｌから　λ＝２Ｌ／ｎ　・・・③ 伝達速度　Ｃとすると、λ＝Ｃ・Ｔから、Ｃ＝λ／Ｔ＝λ・ｆ＝λω／２π よって、Ｃ＝ωＬ／ｎπ＝ （√A）・（ｎπ／L）　・・・一定でない！

＜境界条件＞　両端フリーの場合・・・風鈴がこれに当たる M（０）＝０、Ｖ（０）＝０、および①②から G’’＝－ａ・sinーｂ・cos＋ｃ・exp(kx)＋ｄ・exp(-kx) G’’’＝－ａ・cos＋ｂ・sin＋ｃ・exp(kx)ーｄ・exp(-kx) よって、G’’（０）＝－ｂ＋ｃ＋ｄ＝０、　G’’’（０）＝－ａ＋ｃ－ｄ＝０ ｃ＝（ａ＋ｂ）／２　・・・⑩　　、　ｄ＝（－ａ＋ｂ）／２　・・・⑪ Ｍ（Ｌ）＝０、Ｖ（Ｌ）＝０から －ａ・sinーｂ・cos＋ｃ・exp(kL)＋ｄ・exp(-kL)＝０ －ａ・cos＋ｂ・sin＋ｃ・exp(kL)ーｄ・exp(-kL)＝０ ａ・（sin＋hs）＝ｂ・（cos-hc）、ａ・（cos-hc）＝ｂ・（sin+hs）　 よって、(hs-s)(hs+s)=(c-hc)・(c-hc)　⇒　０＝s＾2+c＾2-2c・hc+hc＾2-hs＾2 hc+hc＾2-hs＾2 ＝１なので、cos（ｋL）・ｃｏｓｈ（ｋＬ）＝１　・・・⑫ 　　　　　　　　⑫を解くと、　ｋＬ＝4.730、7.853、10.996　　＝λｉとおく（後述）。 ⑧より、ω＝（√A）・ｋ・ｋ　＝（√A）・（λi／L）２　　・・・⑨ G（ｘ）＝ａ・ｓｉｎ(kx) ＋ｂ・ｃｏｓ(kx) ＋ａ・ｓｉｎｈ(kx)＋ｂ・ｃｏｓｈ(kx) 　　　＝α・［ sin（ｋｘ）＋sinh（ｋｘ）］ ＋ cos（ｋｘ）＋cosh（ｋｘ） 、ｋ＝λｉ／Ｌ

（αを求める） 奇数次振動モードのとき、左右対称性からG(0)＝G（L）なので、 α＝［２－cos(λ)-cosh(λ)］／ ［sin（λ）＋sinh（λ）］ Cos・ｈｃ＝１、　ｈｃ＾２－ｈｓ＾２＝１なので、 　　＝［２－cos(λ)-1/cos(λ)］／ ［sin（λ）－tan（λ）］ 　　＝（１－cos）（１-1/cos）／ ［sin・（１－1/cos）］＝ （１－cos）／ sin 偶数時振動モードのとき、点対象性からG(0)＝－G（L)なので、 α＝［-２－cos(λ)-cosh(λ)］／ ［sin（λ）＋sinh（λ）］ 　　＝［ー２－cos(λ)-1/cos(λ)］／ ［sin（λ）＋tan（λ）］ 　　＝－（１＋cos）（１＋1/cos） ／ ［sin・（１＋1/cos）］＝ ー（１＋cos） ／ sin λ1＝4.73004074から、α１＝-0.982502 λ2＝7.85320462から、α２＝-1.000777 λ3＝10.9956078から、α３＝-0.999966　　　　

（節を求める）　 L=1のとき、 G（ｘ）＝０　の近似解は以下。 １次振動モード 0.22415951 0.77584864 - ２次振動モード 0.132108003 0.49999929 0.867902555 ３次振動モード 0.094442893 0.35580274 0.644214063 0.905307045

（腹を求める）　 L=1のとき、 G’（ｘ）＝ ｋ・｛-sin（ｋｘ）＋sinh（ｋｘ）＋α・［ cos（ｋｘ）＋cosh（ｋｘ）］｝＝０　の近似解は以下。 １次振動モード 0.5 - ２次振動モード 0.308373036 0.6916533 ３次振動モード 0.220001877 0.779925693

λを求める手法 Cos(x)*cosh(x)=1 の解をニュートンラプソン法で求める。 F=cos(x)＊cosh(x)－１とし、誤差／傾き　だけXを補正する手法⊿F＝ｆ‘（ｘ）＊⊿ｘ　⇒　⊿ｘ＝⊿Ｆ／ｆ’（ｘ） 4.73004074 1.5πすぎ 7.85320462 2.5π手前 10.9956078 3.5πすぎ ⊿ｘ ⊿F

（比較）弦の振動理論 線密度 r、一定張力Ｔ がかかる場合を考える。 Ｆ Ｔ Y 弦の傾きをθとすると、Ｆ＝Ｔ・ｓｉｎθ 　弦の傾きをθとすると、Ｆ＝Ｔ・ｓｉｎθ Θは小さいのでｓｉｎθ＝ｔａｎθ＝Ｙ‘ よって、Ｆ＝Ｔ・Ｙ‘　・・・① 　微少部分のＹ方向の運動から Ｆ（ｘ＋δ）－Ｆ（ｘ）＝ｍ・ａ＝ρ・δ・ａ T［Ｙ‘（ｘ＋δ）－Ｙ’（ｘ）］＝ρ・δ・ａ　・・・② 　ａ＝＋（Ｔ／ρ）・Y’’　・・・ ③ 　波動方程式　＋であることに留意。 一般に、　ａ＝＋Ａ・Ｙ‘’　の波動方程式は、Ｙ＝F（ｔ）・G（ｘ）とすると、　 特解は、exp（ｊωｔ）、exp（-ｊωｔ） 、 exp（ｊｋｘ）、exp（-ｊｋｘ） 　よって、④　Ｆ（ｔ）＝ｃ１・sinωｔ＋ｃ２・cosωｔ 　　　　　　⑤　Ｇ（ｘ）＝ｃ３・sinｋｘ＋ｃ４・cosｋｘ ③④⑤より、-ω・ω＝Ａ・ｋ・ｋ　⇒　ω＝（√A）・ｋ　・・・⑥ θ Ｔ Ｘ　　Ｘ+δ Ｌ

＜初期値条件＞ 無変形で振動開始したとすると、ｙ（ｔ＝０）＝０　よって、ｃ２＝０　 ＜境界条件＞　弦はｘ＝０とLで拘束されているから、 Ｙ（ｘ＝０）＝０から、ｃ４＝０ Y（ｘ＝L)＝０から、ｓｉｎ（ｋＬ）＝０　⇒　ｋＬ＝ｎπ 一般解　Ｙ＝ｃ１・sin（ωｔ）・ｓｉｎ（ｋｘ）、ｋ＝ｎπ／Ｌ 　　　　　ω＝√Ａ　・ｋ＝√（Ｔ／ρ）　ｎπ／Ｌ　・・・Ｌに反比例する。

（考察） 　Ｙ＝Ｓｉｎωｔ・ｓｉｎｋｘ　は進行波と後退波の合成としても表される。 進行波　ｃｏｓ（ωｔ－ｋｘ）＝ｃｏｓωｔ・ｃｏｓｋｘ＋ｓｉｎωｔ・ｓｉｎｋｘ　① 後退波　ｃｏｓ（ωｔ＋ｋｘ）＝ｃｏｓωｔ・ｃｏｓｋｘーｓｉｎωｔ・ｓｉｎｋｘ　② ①-②より、ｓｉｎωｔ・ｓｉｎｋｘ＝［ｃｏｓ（ωｔ－ｋｘ）－ｃｏｓ（ωｔ＋ｋｘ）］／２ ｋ＝２π／λ　；λは波長 λ＝２π／ｋ　、ｋ＝ｎπ／Ｌから　λ＝２Ｌ／ｎ　・・・③ 伝達速度　Ｃとすると、λ＝Ｃ・Ｔから、Ｃ＝λ／Ｔ＝λ・ｆ＝λω／２π よって、Ｃ＝ωＬ／ｎπ＝ （√A）・（ｎπ／L）・　Ｌ／ｎπ 　　　　　　　　　　　　　　＝ （√A）　 ＝√（Ｔ／ρ） 波の伝達速度は一定。

縦波(粗密波)の振動理論 変位Ｕ、棒の断面積Ｓ、密度 r、ヤング率Ｅとする。 変位Ｕ（ｘ、ｔ） 弾性の法則から、 Ｆ／Ｓ＝Ｅ・ε 　Ｆ／Ｓ＝Ｅ・ε 　ε＝u(x+δ,t)-u(x,t)／δ＝ｕ‘ 　よって、Ｆ＝ＥＳ・ｕ‘　・・・① 運動の式から、 　F(x+δ,t)-F(x,t)＝ρSδ・ａ　・・・② ①②より、　ａ＝Ｆ‘／ρＳ＝（Ｅ／ρ）・ｕ’‘　・・・ ③ 　波動方程式 ③式は弦の振動と同じ。よって、 　伝達速度Ｃ＝（√A）＝√（Ｅ／ρ） チタンの場合、Ｅ＝106Ｇｐａ、　ρ＝4.51ｇ／ｃｍ3から、 　チタンの縦波伝達速度＝4848ｍ／秒 Ｆ Ｆ（ｘ＋δ） Ｌ Ｘ　　Ｘ+δ