© Yukiko Abe 2015 All rights reserved 無差別曲線 C © Yukiko Abe 2015 All rights reserved

© Yukiko Abe 2015 All rights reserved 無差別曲線の性質 右下がり 2本の無差別曲線は交わらない 右上方に位置する無差別曲線のほうが、効用の値が高い。 原点に対して凸 © Yukiko Abe 2015 All rights reserved

© Yukiko Abe 2015 All rights reserved 限界代替率 無差別曲線の傾きを限界代替率と呼ぶ。 限界代替率は、消費者の主観的な、2財の交換比率である：同じ効用水準を維持するために交換してもよい（＝等価である）と考える比率。 © Yukiko Abe 2015 All rights reserved

© Yukiko Abe 2015 All rights reserved 限界代替率の計算（１） 以下の効用関数の限界代替率を計算する 【一般的に成り立つ性質】 ある効用の水準　　　で全微分をして、その結果をゼロと置く：　　 © Yukiko Abe 2015 All rights reserved

© Yukiko Abe 2015 All rights reserved 限界代替率の計算（２） 全微分した式を変形して 具体的な効用関数について限界代替率を計算するためには、上記の式の　　　　　と　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　に、具体的な効用関数から計算された微係数を代入する。　　　 © Yukiko Abe 2015 All rights reserved

© Yukiko Abe 2015 All rights reserved 上記の効用関数の場合 　　となるので、代入して整理すると 　　となる。 © Yukiko Abe 2015 All rights reserved

限界代替率と効用関数のパラメーターβの関係：練習問題 上記の効用関数のパラメーターβは、限界代替率の大きさにどのような影響を与えるか？他の条件を一定として、βの値が大きいと限界代替率は大きくなるか、小さくなるか？ そのことは、βの値が労働供給とどのような関係にあることを意味するか？ © Yukiko Abe 2015 All rights reserved

© Yukiko Abe 2015 All rights reserved 【補足】　自然対数の微分 自然対数　　　の　に関する微係数は 　　である。ただし、　　　　． 　このことは、自然対数は指数関数の逆関数であり、指数関数の微係数はもとの関数そのものになることから理解できる（　　　　　　）。 © Yukiko Abe 2015 All rights reserved

© Yukiko Abe 2015 All rights reserved 労働供給 予算制約に加えて、時間制約があることに注意（　　　　　）。　　は余暇時間、　　は時間の総量。 予算制約の傾きは賃金率 C:　消費財の消費量 © Yukiko Abe 2015 All rights reserved

© Yukiko Abe 2015 All rights reserved 労働供給 予算制約の傾きは賃金率 C:　消費財の消費量 I:　非労働所得 © Yukiko Abe 2015 All rights reserved

© Yukiko Abe 2015 All rights reserved 無業の選択 　　　　が最適点で成立している場合が、無業が選択されるケース。 この場合、 　となり、限界代替率と予　　算制約の傾きは一致しない（なぜか？不等号の向きにも注意）。 © Yukiko Abe 2015 All rights reserved

© Yukiko Abe 2015 All rights reserved 労働供給とスルツキー方程式 単純化のため、P=1という基準化を行なう（これによって一般性は失われない）。 スルツキー方程式は、以下のように表される © Yukiko Abe 2015 All rights reserved

© Yukiko Abe 2015 All rights reserved 労働供給とスルツキー方程式 賃金変化の効果 代替効果：賃金が上昇すると余暇の消 費量を減らす 所得効果：賃金上昇は実質所得の上昇 を意味し、余暇が正常財であれば余暇 の消費量を増加させる。 © Yukiko Abe 2015 All rights reserved

© Yukiko Abe 2014 All rights reserved 消費者の支出最小化 複数の財を消費する消費者を想定。 　支出関数 © Yukiko Abe 2014 All rights reserved

補償需要関数 支出関数の導出においては、x1,x2が内生変数である。 これらのx1,x2を需要量とする、需要関数を導くことができる。この需要関数を補償需要関数とよぶ。　　　　　　と表記（Cはcompensatedに対応）。 この需要関数は、費用関数における要素需要関数と同じであることに注意。

シェパードの補題 補償需要関数について、以下が成り立つ：

© Yukiko Abe 2014 All rights reserved シェパードの補題の考え方（１） 支出関数とは以下である： この左辺の変化分を、　　　と書く。 © Yukiko Abe 2014 All rights reserved

© Yukiko Abe 2014 All rights reserved シェパードの補題の考え方（２） いま、　　のみが変化すると考える。このとき、支出額の変化は © Yukiko Abe 2014 All rights reserved

© Yukiko Abe 2014 All rights reserved シェパードの補題の考え方（３） ここで、以下が成り立つ： 効用が一定水準に保たれていることから、 　　　　　　　は無差別曲線に沿って動いている 　　ことに着目する。 © Yukiko Abe 2014 All rights reserved

© Yukiko Abe 2014 All rights reserved シェパードの補題の考え方（４） 【復習】支出最小化の条件とは、限界代替率と価格比率が一致すること。 限界代替率の定義を用いて、この条件は以下のようになる。 © Yukiko Abe 2014 All rights reserved

© Yukiko Abe 2014 All rights reserved シェパードの補題の考え方（５） 無差別曲線に沿って動くとは、 　　が以下を満たすことを意味する： しかし一方で、最適解の条件とは： © Yukiko Abe 2014 All rights reserved

© Yukiko Abe 2014 All rights reserved 支出最小化 等支出曲線 傾きの絶対値：p1/p2 © Yukiko Abe 2014 All rights reserved

© Yukiko Abe 2014 All rights reserved シェパードの補題の考え方（６） 支出関数は、費用最小化の最適点での支出である。最適解の条件を変形すると： これを代入して： © Yukiko Abe 2014 All rights reserved

© Yukiko Abe 2014 All rights reserved シェパードの補題の考え方（７） 以上から、一般性を失うことなく © Yukiko Abe 2014 All rights reserved

© Yukiko Abe 2014 All rights reserved スルツキー方程式 財i価格の変化の効果を所得効果と代替効果に分解 　　　　　所得を一定として　 が変化したときの効果 　　　　　　効用を一定として　 が変化したときの効果 © Yukiko Abe 2014 All rights reserved

© Yukiko Abe 2014 All rights reserved スルツキー方程式 　　　　：代替効果 　　　　　　：所得効果。最初の部分に　　　が 　　　　　　　　かかっていることと、シェパードの　　　　　　　 　補題との関連に注意。 © Yukiko Abe 2014 All rights reserved

© Yukiko Abe 2014 All rights reserved 補償需要曲線と通常の需要曲線 補償需要曲線は、効用を一定にしている需要曲線（ヒックスの需要曲線とも呼ばれる） 通常の需要曲線は、所得を一定にしている需要曲線（マーシャルの需要曲線とも呼ばれる） © Yukiko Abe 2014 All rights reserved

© Yukiko Abe 2014 All rights reserved 補償需要曲線と所得一定の需要曲線 P1 補償需要曲線１（U=u1） 代替効果 所得効果 所得一定の需要曲線 補償需要曲線0 （U=u0） x1 © Yukiko Abe 2014 All rights reserved

© Yukiko Abe 2014 All rights reserved スルツキー方程式と支出関数 以下の等式が成立することに着目： 上記を　　で微分し、所得効果の項を移項すると、スルツキー方程式を得る： © Yukiko Abe 2014 All rights reserved

© Yukiko Abe 2014 All rights reserved 参考図書 シェパードの補題、支出関数、については、以下の本に明快な説明がある： Dixit, Avinash Optimization in Economic Theory, 2nd Edition, Oxford University Press, 1990, Chapter 5 （邦語訳もあり） 等価変分・補償変分については：西村和雄『ミクロ経済学』東洋経済　 1990年　第3章、第4章 © Yukiko Abe 2014 All rights reserved