資料 http://www.slis.tsukuba.ac.jp/~hiraga/LA/ 線型変換のイメージ 固有値、固有ベクトル 平賀譲（２０９研究室） hiraga@slis.tsukuba.ac.jp 資料 http://www.slis.tsukuba.ac.jp/~hiraga/LA/

話の概要 線型写像、線型変換とは 線型変換と図形、ベクトル 固有値と固有ベクトル 線型変換と座標変換 線型変換・座標変換の応用

線型変換 ベクトル x, y、行列 A によって： y = A x で表される x → y の関係 （ x, y は n 次元ベクトル、A は n×n 行列） 正比例　y=ax の一般化（多変数化） 「掛け算」で表せる関係

線型変換の（代数的）定義 ベクトル空間 V 上の写像 f: V→V で： 足してから掛けても掛けてから足しても同じ： 　 f (x+y) = f (x)+f (y) 定数倍してから掛けても、掛けてから定数倍しても同じ： f (ax) = af (x) 特に f (0) = 0　（0 はゼロベクトル） 行列積はこの条件を満たす（確かめよ）： 　A(x+y) = Ax+Ay 　A(ax) = aAx

変換の合成、逆変換 ２つの変換φ、ψ（変換行列 A, B）の合成 　　x　→　φ(x)　→　ψ(φ(x)) は、行列の積として表せる。 　　 x　→　Ax　→　BAx 逆変換は逆行列で表せる。 　　x　→　y = φ(x)= Ax 　　⇒　x = A-1y （ただし正則変換であることが条件）

（参考：「線形」と「線型」） “linear” の訳語で、どちらでもいいようなものだが、正確に言えば「線型」のほうが正しいだろう。 しかし世の中は「線形」のほうが優勢。 ここでは（趣味として）「線型」を用いる。 高校等で「１次結合」、「１次変換」、「１次独立」などと言う場合の「１次」も同じ意味。

図形的な性質（１） 一般には、線型変換によってベクトルの向きも大きさも変わる。 どのように変わるかは、変換行列 A の性質として決まる。 個別のベクトルでは特殊な性質が成り立つものがある。 　　向きが変わらない⇒「固有ベクトル」 デモ１

図形的な性質（２）：正則変換 直線 ⇒ 直線 同じ向きの線分は長さの比が変わらない 多角形 ⇒ 多角形 　原点を通る直線　⇒　原点を通る直線 　平行な２直線　⇒　平行な２直線 同じ向きの線分は長さの比が変わらない 多角形 ⇒ 多角形 平行四辺形 ⇒ 平行四辺形 （長方形 ⇒ 平行四辺形） 三角形 ⇒ 三角形

図形的な性質（３）：正則変換 円 ⇒ 円、楕円 放物線 ⇒ 放物線 （一般に２次曲線は２次曲線に写る） 図形の面積 ⇒ 定数倍 （定数：行列式の値（の絶対値）） デモ２

図形的な性質（４）：非正則な場合 A x = 0（x≠0）となるベクトル x が存在する場合、A は非正則行列。 非正則な場合、変換によって情報が失われる（復元不能である）。 例：　（正）射影 任意の x について、Ox = 0（O はゼロ行列） 1 0 0 0 x y x 0 0 0 1 x y y = = デモ３

（正則）線型変換の分類（２次元） 角 q の回転 相似拡大 反転（鏡映） ずらし変換（Shear 変換） cosq -sinq sinq cosq a 0 0 a a 0 0 b 1 0 0 -1 0 1 1 0 1 a 0 1 デモ４

（続き） どのベクトルの向きも変わらない変換 ←この場合だけ a 0 どのベクトルの大きさも変わらない変換 ⇒ 直交変換（直交行列） 0 a どのベクトルの向きも変わらない変換 ←この場合だけ どのベクトルの大きさも変わらない変換 　　⇒　直交変換（直交行列） 直交変換は回転と鏡映の２種類。 これに平行移動を加えたもの：「合同変換」 直交行列の列ベクトル同士・行ベクトル同士は互いに直交する。 直交行列の行列式は±１。 a 0 0 a

固有値、固有ベクトル（１） 行列 A によって向きが変わらないベクトル⇒ A の 固有ベクトル x が A の固有ベクトルなら、 　　Ax = lx となる定数 l がある　⇒　A の 固有値

固有値、固有ベクトル（２） 一般に n 次正方行列には、複素数まで許せば（重複も数えて） n 個の固有値がある。 回転行列の固有値は複素数（非実数）。 ⇔　回転はすべてのベクトルの向きを変える。 対称行列の固有値はすべて実数。 A が非正則　⇔　A は固有値 0 をもつ。 （Ax = 0・x = 0 だから） デモ５

固有値、固有ベクトル（３） l が A の固有値なら、 Ax = lx = lI x （I は単位行列） したがって： 　　(AーlI ) x = 0 つまり行列 AーlI は非正則 ⇔ det(A ーlI ) = 0 （det A は A の行列式） これを A の 固有方程式、 左辺を 固有多項式 と呼ぶ。

固有値、固有ベクトル（４） a-l b c d-l ２次元なら： AーlI = det(AーlI ) = (a－l)(d－l)－bc = l2 －(a+d)l + ad－bc = 0 つまりl はこの２次方程式の根。 （一般に n 次行列なら n 次方程式になる） 参考： n 次方程式は複素数の範囲で必ず n 個の根を持つ（代数学の基本定理）。

おまけ 行列A の固有多項式を f (l) とする。 このとき f (A) = O が成り立つ。 （Cayley-Hamilton の定理） ２次元の場合が高校で覚えさせられるもの： 　　　 A2 －(a+d) A + ad－bc = O

固有値・固有ベクトルの役割 行列 A による線型変換は、固有ベクトルの方向には単なる定数倍として働く。 対角行列（対称行列の場合など） 一般には対角化できない場合もあるが、その場合でも「ジョルダン標準形」にはできる。 ⇒　座標変換

座標変換 座標系を固定して図形を変換するのと、図形を固定して座標系を逆変換するのとは実質的に同じこと。 　例：　図形を角q 回転するのと、座標系を 　　　角(－q) 回転するのとは同じ結果。 座標系の移動　⇒　座標変換 デモ６

座標変換（２） x y 1 1 　　 = x + y が、一次独立なベクトル , により = X + Y と表せる ⇒(x,y) 座標系から (X,Y) 座標系への変換 = F = ：座標変換行列 a b c d x y a b c d x y a c b d X Y a c b d

座標変換（３） 行列（＝線型変換）A により y = Ax とする。 x = FX, y = FY として、FY = AFX、つまり Y = F-1AF X （XY 座標系での変換） 同様に Y = BX なら y = FBF-1 x B = F-1AF：　A の 相似変換

座標変換（４） xy 座標系での y = Ax を計算するには、 XY 座標系で Y = BX を計算して xy 座標系に戻せばよい。 B = F-1AF が簡単な形の場合に有効。 （特に B が対角行列の場合） 例えば An = (FBF-1)n 　= (FBF-1) (FBF-1)...(FBF-1) = FBnF-1 であり、B が対角行列なら計算が簡単。

相似変換 B = F-1AF が対角行列であるような F が存在するとき： （一般には対角化できない場合もある。） B の対角成分は A の固有値 F の行・列ベクトルは A の固有ベクトル （一般には対角化できない場合もある。） A が対称行列の場合、固有値はすべて実数、対角化可能で、F は直交行列。

線型変換・座標変換の応用 応用例はヤマのようにある。 漸化式（線型差分方程式）の解法 （線型）微分方程式の解法 統計解析（回帰分析、相関分析等々） ２次曲線・２次曲面の分類 コンピュータグラフィックス、計算幾何 正射影（平行投影） 透視射影 同次座標 事例紹介