中学数学１年 ４章 比例と反比例 §２　比例 （６時間）

§２ 比例 ① 比例する量 《水槽に水を入れる時間と水の深さの関係》 水を入れ始めてからの時間 (分) 2倍 3倍 4倍 2倍 ０ １ ２ §２　比例 ① 比例する量 《水槽に水を入れる時間と水の深さの関係》 水を入れ始めてからの時間　　　(分) 2倍 3倍 4倍 2倍 ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ･･･ x たまった水の深さ 　　　　　　(cm) ０ ３ ６ ９ 12 15 18 ･･･ y 2倍 3倍 4倍 2倍 　x^^の値を２倍，３倍，４倍，・・・すると， 　y^^^^の値も２倍，３倍，４倍，・・・となっている。 　このような関係のとき， 　　『 y^^は x^^に(正)比例する 』 という。

　y^^の値は，x^^の値の３倍になっているので， と表される。 　一般に，y^^が x^^の関数で， y=ax の式で表されるとき， 　　『 y^^は x^^に比例する 』という。 　一定の数やそれを表す文字を 定数 という。 　比例の式のなかの文字 a は定数であり，比例定数 という。 ^^^^^^y 　x≠0 のとき，__ の値は一定で，比例定数 a^^に等しい。 ^^^^^x　

問１ 　 次の問について，y^^が x^^に比例することを比例の式で示しなさい。また，そのときの比例定数をいいなさい。 (1) 30円の鉛筆を x^^本買ったときの代金 y^^円。 比例の式 y=30x 比例定数 30 (2) 時速５kmで x^^時間歩いた距離 y^^km。 比例の式 y=5x 比例定数 5 (3) 底辺が x^^cm，高さが12cmの三角形の面積 y^^cm2。 比例の式 y=x*12/2 比例定数 6 y=6x

問２ 　 次の関係が文章通り比例関係ならば○を，そうでないなら*を書きなさい。 (　) ノートを買ったときの代金は，買った冊数に比例する。 (　) テストの点数は，勉強した時間に比例する。 (　) 100g，200円の肉を買ったときの代金は，買った重さに比例する。 (　) １日の睡眠時間は，起きていた時間に比例する。 (　) 人間の体重は，身長に比例する。 (　) 体に含まれる血液の量は，体重に比例する。 (　) 人間の髪の毛は１日に約0.4mmずつ伸びると言われている。ある 　期間に伸びる毛の長さはその日数に比例する。 (　) ジュースを飲んだとき，体に入ってくる糖分の量は，飲んだ 　ジュースの量に比例する。 (　) 毎月の小遣いの金額は，年齢に比例する。 (　) 時計の針の回る角度は，時間に比例する。

(　) シャープペンシルの芯が出てくる長さは，ノックした回数に比例 　する。 (　) 携帯電話にかかる料金は，通話時間に比例する。 (　) ＪＲの運賃は，行き先までの距離に比例する。 (　) 同じ歩幅で歩くとき，歩いた距離は，歩いた歩数に比例する。 (　) みそ汁を同じ味にするとき，みその量は，作るみそ汁の量に比例 　する。 (　) 正方形の面積は，１辺の長さに比例する。 (　) 円周の長さは，半径の長さに比例する。 (　) 変速機つきの自転車で，ペダルを同じように回転させたとき， 　後輪の回転数はチェーンのかかっている後輪の歯車の歯の数に比例 　する。

問２ 　 次の関係が文章通り比例関係ならば○を，そうでないなら*を書きなさい。 (　) ノートを買ったときの代金は，買った冊数に比例する。 (　) テストの点数は，勉強した時間に比例する。 (　) 100g，200円の肉を買ったときの代金は，買った重さに比例する。 (　) １日の睡眠時間は，起きていた時間に比例する。 (　) 人間の体重は，身長に比例する。 (　) 体に含まれる血液の量は，体重に比例する。 (　) 人間の髪の毛は１日に約0.4mmずつ伸びると言われている。ある 　期間に伸びる毛の長さはその日数に比例する。 (　) ジュースを飲んだとき，体に入ってくる糖分の量は，飲んだ 　ジュースの量に比例する。 (　) 毎月の小遣いの金額は，年齢に比例する。 (　) 時計の針の回る角度は，時間に比例する。 ○ * ○ * * ○ ○ ○ * ○

(　) シャープペンシルの芯が出てくる長さは，ノックした回数に比例 　する。 (　) 携帯電話にかかる料金は，通話時間に比例する。 (　) ＪＲの運賃は，行き先までの距離に比例する。 (　) 同じ歩幅で歩くとき，歩いた距離は，歩いた歩数に比例する。 (　) みそ汁を同じ味にするとき，みその量は，作るみそ汁の量に比例 (　) 正方形の面積は，１辺の長さに比例する。 (　) 円周の長さは，半径の長さに比例する。 (　) 変速機つきの自転車で，ペダルを同じように回転させたとき， 　後輪の回転数はチェーンのかかっている後輪の歯車の歯の数に比例 ○ * * ○ ○ * ○ *

《50km/時で東向きに走る車》 例１ 　 目の前を東に向かって，50km/時で車が通過していった。現在からの時間と現在地からの距離の関係について考える。ただし，東の方向を正の方向，これからの時間を正の時間とする。 西 東

《50km/時で東向きに走る車》 例１ 　 目の前を東に向かって，50km/時で車が通過していった。現在からの時間と現在地からの距離の関係について考える。ただし，東の方向を正の方向，これからの時間を正の時間とする。 東 西 １時間前 ２時間前 現在 ４時間前 ３時間前 ４時間後 １時間後 現在 ２時間後 ３時間後 -200 -150 -100 -50 50 100 150 200

《50km/時で東向きに走る車》 例１ 　 目の前を東に向かって，50km/時で車が通過していった。現在からの時間と現在地からの距離の関係について考える。ただし，東の方向を正の方向，これからの時間を正の時間とする。 東 西 50 100 150 200 -50 -100 -150 -200

《50km/時で東向きに走る車》 例１ 　 目の前を東に向かって，50km/時で車が通過していった。現在からの時間と現在地からの距離の関係について考える。ただし，東の方向を正の方向，これからの時間を正の時間とする。 ４時間前 ３時間前 ２時間前 １時間前 現 　在 １時間後 ２時間後 ３時間後 ４時間後 東 西 50 100 150 200 -50 -100 -150 -200 時間 x (時) ･･･ -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 ･･･ 距離 y (km) ･･･ -200 -150 -100 -50 50 100 150 200 ･･･ y=50x 　変数 x, y^^^^が，負の数の場合もある。

《50km/時で西向きに走る車》 例２ 　 目の前を西に向かって，50km/時で車が通過していった。現在からの時間と現在地からの距離の関係について考える。ただし，東の方向を正の方向，これからの時間を正の時間とする。 西 東

《50km/時で西向きに走る車》 例２ 　 目の前を西に向かって，50km/時で車が通過していった。現在からの時間と現在地からの距離の関係について考える。ただし，東の方向を正の方向，これからの時間を正の時間とする。 東 西 １時間前 ２時間前 現在 ４時間前 ３時間前 ４時間後 １時間後 現在 ２時間後 ３時間後 -200 -150 -100 -50 50 100 150 200

《50km/時で西向きに走る車》 例２ 　 目の前を西に向かって，50km/時で車が通過していった。現在からの時間と現在地からの距離の関係について考える。ただし，東の方向を正の方向，これからの時間を正の時間とする。 東 西 50 100 150 200 -50 -100 -150 -200

《50km/時で西向きに走る車》 例２ 　 目の前を西に向かって，50km/時で車が通過していった。現在からの時間と現在地からの距離の関係について考える。ただし，東の方向を正の方向，これからの時間を正の時間とする。 ４時間後 ３時間後 ２時間後 １時間後 現 　在 １時間前 ２時間前 ３時間前 ４時間前 東 西 50 100 150 200 -50 -100 -150 -200 時間 x (時) ･･･ -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 ･･･ 距離 y (km) ･･･ 200 150 100 50 -50 -100 -150 -200 ･･･ y=-50x 　比例定数 a^^^^が，負の数の場合もある。

《変域》 　例１・２の車が50km/時で走り続けたとしても，いつかは燃料がなくなって動かなくなり，比例関係が成り立たなくなる 　また，水槽に水を入れる場合も，水槽の深さが30cmであれば，10分後に満水になる。もし，それ以上水を入れ続けてもあふれるだけで，水の深さは30cmのまま変わらず，比例関係が成り立たなくなる。 　このとき，水を入れ始めてからの時間を x分とすると，比例関係が成り立つために，変数 x^^のとりうる値の範囲は， 0 以上 10以下 となる。このような，変数のとりうる値の範囲を，その変数の 変域 といい，不等号や数直線を使って， 0≦x≦10 10 と表す。 端の数をふくむ場合は^^^^●^^^^を， ふくまない場合は^^^^○^^^^を使って表す。

不等号 a^^は b^^以下(その数をふくむ)･････ a≦b a^^は b^^以上(その数をふくむ)･････ a≧b a^^は b^^より小さい・未満･････････ a<b a^^は b^^より大きい･･･････････････ a>b 例３ 次の変域を，不等号や数直線を使って表しなさい。 (1) x^^^^のとる値が，-3 より大きい場合， x＞-3 -3 (2) x^^^^のとる値が，6 以下の場合， x≦6 6 問３ 次の変域を，不等号や数直線を使って表しなさい。 (1) x^^^^のとる値が，-2 以上 8 未満の場合， -2≦x<8 -2 8

京都では，平面上の位置を通り名を使って表すことができる。 （ただし，すべての通りが端まで通っているとは限らない。） ② 座標 　京都では，平面上の位置を通り名を使って表すことができる。 （ただし，すべての通りが端まで通っているとは限らない。） 南北 北大路 位置を通り名を使って表す A 今出川 D A地点は， 烏丸今出川 丸太町 B地点は， 葛野大路八条 御池 三条 C地点は， 堀川五条 E 葛野大路 西大路 御前 千本 大宮 堀川 西洞院 烏丸 河原町 川端 東大路 東西 四条 五条 C F 通り名を使って位置を求める 七条 B D地点，千本丸太町は， 八条 九条 E地点，^^西大路四条は， 十条 F地点，^^河原町七条は，

数学では，直線上の位置は，１本の数直線を使って表すことができる。 　数学では，直線上の位置は，１本の数直線を使って表すことができる。 　　平面上の位置は，直角に交わる２本の数直線を使って表すことができる。 y x軸(横軸) 横の数直線 A y軸(縦軸) 縦の数直線 　4 両方をあわせて座標軸 　3 　2 原点 座標軸の交点O (オー) 　1 原点Oの座標 (0, 0) x 　0 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 点Aの位置は，Aから座標軸にひいた垂線との交点の^^x, y^^の値を読み取り， -1 -2 -3 ^^^^A(3, 4)と表す。 -4 (3, 4) を点Aの座標という。 x座標 y座標

《座標の求め方》 例１ 次の各点の座標を求めなさい。 x y x y B C B(-1, 3) C(-3, -2) -4 -3 -2 -1 　1 　2 　3 　4 O x y -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 　1 　2 　3 　4 O B C B(-1, 3) C(-3, -2)

x y x y D E D(3, 0) E(0, -4) -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 1 2 3 4 O -4 -3 -2 -1 　1 　2 　3 　4 O x y -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 　1 　2 　3 　4 O D E D(3, 0) E(0, -4)

y座標の４を通る横線を引き，交点を求める。 原点から右へ３，上へ４進んだ点を求める。 《点の求め方》 例２ 次の座標の各点を図に示しなさい。 x y -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 　1 　2 　3 　4 O A(3, 4) x y -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 　1 　2 　3 　4 O A A 4 3 　x座標の３を通る縦線と， y座標の４を通る横線を引き，交点を求める。 　原点から右へ３，上へ４進んだ点を求める。

B(-1, 3) C(0, -4) x y x y B 3 -1 -4 C -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 1 2 3 4 O -4 　1 　2 　3 　4 O x y -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 　1 　2 　3 　4 O B 3 -1 -4 C

問１ 次の各点の座標を求めなさい。 x y B A(4, 3) A B(0, 4) C(-4, -3) E D(2, -3) C D -2 -1 1 2 3 4 　1 　2 　3 　4 O B A(4, 3) A B(0, 4) C(-4, -3) E D(2, -3) C D E(2, 0)

問２ 次の座標の各点を図に示しなさい。 y A(3, 1) B B(-2, 3) A C(-4, 0) C x D(0, -2) D E -3 -2 -1 1 2 3 4 　1 　2 　3 　4 O A(3, 1) B B(-2, 3) A C(-4, 0) C D(0, -2) D E E(4, -3)

③ 比例のグラフ 《^^^^x, y^^^^の値の組を座標とする点をとり，グラフをかく》 y=2x のグラフ x ･･･ -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 ･･･ y ･･･ -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 ･･･

x y O -5 5 　5 　点を取ると，１つの直線上に並ぶ。

③ 比例のグラフ 《^^^^x, y^^^^の値の組を座標とする点をとり，グラフをかく》 y=2x のグラフ x y ･･･ -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -8 -6 6 8 x ･･･ -3.5 -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 ･･･ y ･･･ -7 -5 -3 -1 1 3 5 7 ･･･

さらに点を増やしていくと，それらの点の集まりは，最後は，１つの直線になる。 x y O -5 5 　5 　点を取ると，１つの直線上に並ぶ。 y=2x 　さらに点を増やしていくと，それらの点の集まりは，最後は，１つの直線になる。

③ 比例のグラフ 《^^^^x, y^^^^の値の組を座標とする点をとり，グラフをかく》 y=2x のグラフ x y ･･･ -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -8 -6 6 8 -3.5 -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 -7 -5 5 7 y=1.5x のグラフ x ･･･ -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 ･･･ y ･･･ -6 -4.5 -3 -1.5 1.5 3 4.5 6 ･･･

さらに点を増やしていくと，それらの点の集まりは，最後は，１つの直線になる。 y=2x y=1.5x O -5 5 　5 　点を取ると，１つの直線上に並ぶ。 　さらに点を増やしていくと，それらの点の集まりは，最後は，１つの直線になる。 y=2x y=1.5x 　x^^^^が増加すると，y^^^^も増加し，グラフの傾きは右上がりになる。 　比例定数が変わると，グラフの傾きが変わる。

《比例定数が負の数のグラフをかく》 y=-2x のグラフ x ･･･ -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 ･･･ y ･･･ 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 ･･･

x y O -5 5 　5 y=-2x

《比例定数が負の数のグラフをかく》 y=-2x のグラフ x y ･･･ -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 8 6 -6 -8 y=-1.5x のグラフ x ･･･ -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 ･･･ y ･･･ 6 4.5 3 1.5 -1.5 -3 -4.5 -6 ･･･

比例定数が負の数のとき，x^^^^が増加すると，y^^^^は減少し，グラフの傾きは O -5 5 　5 y=-2x y=1.5x 　比例定数が負の数のとき，x^^^^が増加すると，y^^^^は減少し，グラフの傾きは 右下がりになる。

x y O -5 5 　5 y=-2x y=1.5x y=2x

《比例定数が負の数のグラフをかく》 y=-2x のグラフ x y ･･･ -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 8 6 -6 -8 y=-1.5x のグラフ 4.5 1.5 -1.5 -4.5 　比例の関係 y=ax のグラフは 原点を通る直線 である。 　y=ax のグラフをかくには，原点ともう１つの点をとって，これらを通る直線をひけばよい。

x^^^^が１のとき，y^^^^の値は比例定数と同じ数になり，求めやすい。 例１ 次の関数のグラフをかきなさい。 x y O -5 5 　5 ① ② ① y=-3x 原点と 点(1, -3) 　x^^^^が１のとき，y^^^^の値は比例定数と同じ数になり，求めやすい。 ^^^^4 ② y=__x ^^^^3 ^^^^4 点(1, __) ^^^^3 原点と 点(3, 4) 　比例定数が分数のときは，x^^^^に分母と同じ数を代入し，整数同士の組み合わせにする。

問１ 次の関数のグラフをかきなさい。 x y ② ① ① y=3x 原点と 点(1, -3) ② y=-x 原点と 点(1, -1) O -5 5 　5 ② ① ① y=3x 原点と 点(1, -3) ② y=-x 原点と 点(1, -1) ^^^^3 ③ y=__x ^^^^4 ^^^^3 点(1, __) ^^^^4 原点と 点(4, 3) ③

《^^^^x^^^^の値が１増加するときの，y^^^^の値の変化》 O -5 5 　5 y=2x x y O -5 5 　5 y=-2x 2 2 -1 1 1 -1 -2 -2 x^^^^が１増すと，y^^^^は２増す x^^^^が１増すと，y^^^^は２減る x^^^^が１減ると，y^^^^は２減る x^^^^が１減ると，y^^^^は２増す

x^^^^が１増すと，y^^^^は__増す ^^^^^^4 x^^^^が４(分母)増すと，y^^^^は３(分子)増す 《比例定数が整数でない場合》 ^^^^3 y=__x ^^^^4 x y O -5 5 　5 3 3 __ 4 -4 1 4 -3 ^^^^^^3 x^^^^が１増すと，y^^^^は__増す ^^^^^^4 x^^^^が４(分母)増すと，y^^^^は３(分子)増す x^^^^が４減ると，y^^^^は３減る

このようにして，いくつか点を取り，なるべく端の点を利用して線を引くと，ずれにくい。 例２ 次の関数のグラフをかきなさい。 x y O -5 5 　5 ② ① ① y=-4x x^^が１増すと， y^^^^は４減る 　このようにして，いくつか点を取り，なるべく端の点を利用して線を引くと，ずれにくい。 1 2 -3 -4 ^^^^3 ② y=-__x ^^^^2 x^^が２増すと， y^^^^は３減る

問２ 次の関数のグラフをかきなさい。 x y ④ ③ ① ① y=-x x^^が１増すと， y^^^^は１減る ^^^^1 ② y=__x O -5 5 　5 ④ ③ ① ① y=-x x^^が１増すと， y^^^^は１減る ^^^^1 ② y=__x ^^^^4 5 x^^が４増すと， y^^^^は１増す 1 3 1 ③ y=5x 1 4 -1 x^^が１増すと， y^^^^は５増す ② -5 ^^^^5 ④ y=-__x ^^^^3 x^^が３増すと， y^^^^は５減る

y^^^^が整数であれば，その値が比例定数である。 《グラフから式を求める》 x y O -5 5 　5 ① ① x^^^^が１のとき， y^^^^が整数であれば，その値が比例定数である。 　x=1 のとき，y=-3 なので，比例定数は -3。 y=-3x

y^^^^が整数でなければ，ともに整数である点の座標を求める。 x y O -5 5 　5 ② x^^^^が１のとき， y^^^^が整数でなければ，ともに整数である点の座標を求める。 ② 　その x^^^^座標， y^^^^座標の値を y=ax に代入して a^^^^の値を求める。 3=a*5 ^^^^3 a=__ ^^^^5 ^^^^3 y=__x ^^^^5

次のグラフについて，y^^^^を x^^^^の式で表しなさい。 問３ 次のグラフについて，y^^^^を x^^^^の式で表しなさい。 x y O -5 5 　5 ② ① ① y=4x ② y=-6x ④ ^^^^2 y=-__x ^^^^3 ③ ^^^^1 y=__x ^^^^2 ④ ③

比例の関係 y=ax のグラフは，原点を通る直線で，a^^^^の値によって次のようになる。 比例のグラフ 　比例の関係 y=ax のグラフは，原点を通る直線で，a^^^^の値によって次のようになる。 a＞0 のとき a＜0 のとき x y O x y O 増加 増加 増加 減少 右上がり 右下がり

④ 比例の式を求める 例１ 　 y^^^^が x^^^^に比例していて，x=8 のとき y=16 である。 y^^^^を x^^^^の式で表しなさい。 　比例定数を a^^^^とすると， y=ax なので， 　代入して， 16=a*8 a=2 　したがって， y=2x 問１ 　 y^^^^が x^^^^に比例していて，x=6 のとき y=-24 である。 y^^^^を x^^^^の式で表しなさい。 　比例定数を a^^^^とすると， y=ax なので， 　代入して， -24=a*6 a=-4 　したがって， y=-4x

問２ 　 大リーグのイチロー選手の年収が約20億円(2012年)と伝えられている。もし，１万円札で20億円分を積み上げたら，どれくらいの高さになるか求めなさい。なお，１万円札100枚分の厚さは 約10mmである。 　１万円札の枚数を x^^枚，高さを y^^mm とすると， 　^^^^y^^^^が x^^^^に比例していて，x=100 のとき y=10 　比例定数を a^^^^とすると， y=ax なので， 　代入して， 10=a*100 a=0.1 　したがって， y=0.1x 　x=200000 のとき， y=0.1*200000 y=20000 (mm) 　したがって y=20 (ｍ) １万円札の高さ 約20ｍ

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