関数の初歩としての倍概念 －分数の乗法を目指す教材系列－ 日本カリキュラム学会第25回（関西大学）大会 2014年6月29日10:50～11：15 自由研究発表　C103 正　田　　　良 国士舘大学文学部 正田・カリキュラム学会・４スライド（横）

倍操作を含む関数の初歩を、小学校の算数の中に正統に（意識的に）、かつ、系統的に（数学的にも、認識論的にも）扱うことを提案する。 関数の初歩としての倍概念 発表概要 　　倍操作を含む関数の初歩を、小学校の算数の中に正統に（意識的に）、かつ、系統的に（数学的にも、認識論的にも）扱うことを提案する。 　　分数の乗法は、単元の導入とねらいとが乖離する。子どもにとって、実は授業者にとっても、量を表す数を扱っていたはずが、知らないうちに、倍操作という数に比べて抽象度が高いものを扱わされている。この抽象化は、分数を扱っている途中で無自覚に行われるべきものではない。 　　その倍操作が関わる授業書のプランについて、DIMEプロジェクト（1980年代のスコットランドの草の根の教材開発）を参考にしたものを例に提案する。 正田・カリキュラム学会・４スライド（横）

１．分数の乗法の教えにくさ 正田・カリキュラム学会・４スライド（横）

道草学習のすすめ ～公的カリキュラムへの挑戦！～ より(「分数の割り算」での検索) 道草学習のすすめ　　～公的カリキュラムへの挑戦！～ より(「分数の割り算」での検索) 　　ジブリの映画で「おもひでぽろぽろ」という映画がある。 　主人公のタエコが回想シーンの中でリンゴをフォークでつつきながら 「３分の１を４分の１で割るっていうのは…」とつぶやく印象的なシーンがある。 　それに対して、タエコの姉は「ひっくり返して、掛ければいいのよ。ほら、こうして」と答える。 　だけど、タエコは納得できないのだ。「えっ、だけど、リンゴ３分の１を４分の１で割るんでしょ。だから、リンゴはうんと小さくなって‥‥。どうして増えちゃうのよ」 　しかし、算数の得意な姉は続ける。「そんなこと考えなくていいの、ひっくり返せば…」と。このような思いをだれもが一度か二度、抱いたことがあるのではないだろうか。 　　　　　　http://blog.livedoor.jp/yoursong2005/archives/50621680.html 正田・カリキュラム学会・４スライド（横）

括線の上と下で分けること（約分での便宜） ２.　帯分数と仮分数の対立 分数の定義　　　 括線の上と下で分けること（約分での便宜） 筆算を教える際にも、位を揃えて、くりあがりなどがしやすいようにという、形式を工夫することの「よさ」を教えている 正田・カリキュラム学会・４スライド（横）

（配布資料にはありませんが、予稿集によってこのページを補います） （分数×分数）の前に関数の初歩を取り込む （配布資料にはありませんが、予稿集によってこのページを補います） （分数×分数）の前に関数の初歩を取り込む 分数を掛けるということを、数を掛けるのではなく、整数倍操作と等分操作の合成としてとらえられるようにする。 被乗数に対する操作を、旗の図のような図として、形にする。

３.「倍概念」への注目 「倍」は小学校２年生では、何個分の言い換えとしての意味しか持たない。しかし学年を経るにつれ、関数の初歩としての意味を取り込んでいく。 藤枝美智子（1983）は、「倍は、もともと関数なのです。ですから量×量の乗法の意味がわかり使いこなせるようになってから、5，6年生あたりでとりあげた方がよいのです。」 正田・カリキュラム学会・４スライド（横）

関数は、 物－（量に注目）→ 数 －（数と数の関係に注目）→ 関数 －（ 関数の関係に注目）→ 関数の演算子 ４．関数を表す半具体物 関数は、 物－（量に注目）→　数 －（数と数の関係に注目）→　　関数 －（　関数の関係に注目）→　関数の演算子 の抽象度系列の途中（礒田正美、1987）。 教具論：松下佳代(1985) ［具体物］－［準具体物］－［半具体物］－［記号］ ここでの準具体物としては、具体物との形態的類似性を持つものとして、半具体物としては、記号との統辞体系の共通性が求められる。 正田・カリキュラム学会・４スライド（横）

以下、少し具体的に小石を並べます 授業書を作成する試みについては、須田・酒井（2002）に啓発されることが大きかった。須田・酒井は「単位分数」を基軸のひとつとしているが、ここでは、「関数の初歩」としての四則という立場から、「倍」と「等分」とし、単位分数は、「倍」と「等分」の合成の中での退化型として扱った。 正田・カリキュラム学会・４スライド（横）

旗の入れ替えと置き換えから、商分数へ 正田・カリキュラム学会・４スライド（横）

分数の乗法までに行っておきたい内容 正田・カリキュラム学会・４スライド（横）

授業書全体の構想（その１） 正田・カリキュラム学会・４スライド（横）

授業書全体の構想（その２） 正田・カリキュラム学会・４スライド（横）

授業書全体の構想（その3） 正田・カリキュラム学会・４スライド（横）

学習指導計画の提案と標準的な時間配当と比較 正田・カリキュラム学会・４スライド（横）

藤枝美智子（1983）「かけ算の導入」日本教職員組合（編）『さんすうの授業 第１階梯』一ッ橋書房､pp.149‐181。 引用参考文献など 藤枝美智子（1983）「かけ算の導入」日本教職員組合（編）『さんすうの授業　第１階梯』一ッ橋書房､pp.149‐181。 礒田正美（1987）「関数の思考水準とその指導についての研究」『日本数学教育学会誌』第69巻第3号，pp.2-12。 松下(野中）佳代(1985)「教具の構成に関する一考察」『教育方法学研究』第11巻。 須田勝彦・酒井義信（2002）「学習プリント『倍と分布』と授業記録」『教授学の探究』, 19: 25-75　　　（HSCAP　http://hdl.handle.net/2115/13629） 正田　良（1989）『DIME授業書による楽しい数学』明治図書。 また、今回作成した授業書に関しては、二ノ宮夏奈・秋葉真子（国士舘大学文学部初等教育専攻学生）との議論に負うところが大きい。ここに記して謝意を表する。 正田・カリキュラム学会・４スライド（横）

ご清聴ありがとうございました。 連絡先など 正 田 良（しょうだ りょう） 正　田　　　良（しょうだ　りょう） 154-8515　世田谷区世田谷4-28-1　　国士舘大学文学部初等教育専攻 rio@kokushikan.ac.jp この電子ファイルは、私のホームページの中の、「学会での発表」 http://kks-el01.sakura.ne.jp/ACD/index.htm　に当分の間おくつもりです。 ご清聴ありがとうございました。 正田・カリキュラム学会・４スライド（横）