第５課 輻射の方程式 ＩＩ 平成１６年１１月８日 講義のファイルは 第５課 輻射の方程式　ＩＩ 平成１６年１１月８日 講義のファイルは http//www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html に置いてあります。 レポート提出は出題の次の授業が原則ですが、それ以降でも構いません。単位が欲しい人は５つ以上のレポートを提出して下さい。とにかく全部のレポートを頑張って出した人には良い点が与えられます。 Ｍ２その他で単位認定を急ぐ人は申し出て下さい。

ｎ Ｘ ５．１． 輻射強度のモーメント Ω θ I(x,θ,φ）＝ I(x,θ） 輻射が軸対称の時、μ＝cosθとして、 ５．１． 輻射強度のモーメント ｎ I(x,θ,φ）＝ I(x,θ）　輻射が軸対称の時、μ＝cosθとして、 Ｎ次モメント　MＮ　を以下のように定義する。 ＭＮ（x, λ）＝(1/4π)∫(cosθ)Ｎ　I (θ, x, λ) dΩ 　　　　　　 ＝(1/4π) ∫∫ (cosθ)Ｎ　I (θ, x,λ) (sinθ) dφdθ 　　　　　 ＝(1/2)∫μＮ I (μ, x, λ)dμ Ω θ ０次モーメント 　Ｍ0（x,λ）＝ (1/4π)∫I (μ, x, λ) dΩ 　 ＝ (1/2)∫I (μ, x, λ) dμ = J （x,λ） 　　　　　　　＝ mean intensity (平均輻射強度) 　光子の密度関数　ｎ（Ω）と輻射強度　Ｉ（Ω） は、Ｉ（Ω）＝ｃｈνｎ（Ω）　の関係がある。輻射のエネルギー密度　ｕは、u = ∫hνｎ（Ω）dΩ　で与えられる。　よって、 　ｕ＝（１/ｃ）∫ｃ・hνｎ（Ω）dΩ＝ （１/ｃ）∫ＩｄΩ＝ （４π/ｃ）Ｊ Ｘ

Ｍ1（x,λ）＝ (1/4π)∫cosθI(θ,x,λ) dΩ １次モーメント 　Ｍ1（x,λ）＝ (1/4π)∫cosθI(θ,x,λ) dΩ ＝ (1/2)∫μI(μ, x,λ) dμ = H（x,λ） X点でのｎ方向へのフラックスF（n, x ,λ)は、 F （ n, x ,λ)＝∫ cosθ I (θ,x,λ) dΩ 　 　　 　　=2π∫μI(μ, x,λ) dμ 　　　 　　＝ 4πH ( x, λ)

２次モーメント ｚ θ ｐ Ｍ2（x,λ）=(1/4π)∫ (cosθ)2I(cosθ, x,λ) dΩ 　 = (1/2)∫μ2 I(μ, x,λ)dμ 　 =K （x,λ） θ ｐ c cosθ ｐcosθ ｚ 運動量分布関数 f ( p ) を持つ粒子の圧力 P は、 　運動量 ｐ の ｚ 成分 ｐ cosθの、ｚ 方向への輸送率、 　　　　Ｐ＝Pzz=∫(p cosθ・ cosθ) f (p) d3p 　として与えられる。 　　光子では E＝ｃp =hνなので Ｐ=∫E (p)μ2 f ( p ) d3p =∫c p μ2f (p) p2 dΩdp =∫cμ2 (h/c)4ν3 f (p) dΩdν = (1/c)∫(h4ν3 /c2) f (p) μ2dΩdν ＝ (1/ c) ∬I (ν, Ω) μ2dΩdν = (4π/c)∫K(ν) dν

簡単な例： I(Ω) ＝Ｉo （等方輻射） J = ∫IodΩ /4π=Io H= ∫μIdΩ /4π=0 K= ∫μ2IdΩ /4π=Io/3 特に、I(ν)＝Ｂ(T, ν) の場合, K(ν)＝(1/3)Ｂ(T, ν) 　　　 Pr = (4π/c)∫Ｋ(ν)dν ＝ (4π/3 c)∫B(T,ν) dν ＝ (4π/3 c)(σ/π)T4 ＝ (4σ/3 c )T4＝(a/3)T4

５．２．平面近似でのモーメント方程式 問題にしている領域の厚みが半径と同程度の時、 Ｄ/Ｒ≒１ 　　Ｄ/Ｒ≒１ 光の方向は各層での鉛直線に対して、異なる角度θを持つ。 θ２ Ｄ θ１ Ｒ

Ｄ/ Ｒ＜＜１の場合には角度θが一定と考えてよい。 星の表面から出る光を研究する場合、通常はτ＜１０程度までで十分である。これは星全体から見るとほんの表面なのでＤ/ Ｒ＜＜１が成立する。 このような場合は、本来、球面である恒星大気の各層を平面と考えて扱って構わない。

Iλ (μ,τλ=0) τλ＝０ (表面) Ｙ Ｚ τλ Ｘ Iλ (μ,τλ) 恒星の大気の各層を平面状に考えた際の、変数の意味を下に示す。 Iλ (μ,τλ=0) τλ＝０ 　(表面) Ｙ Ｚ τλ θ Ｘ Iλ (μ,τλ) 星の大気表面から内部に向かって、Ｘ軸を設定する。Ｘ軸に沿って光学深さτを定める。波長λにより吸収係κが変わるので、Ｘが同じでもτ（λ）＝∫κ（λ）ｄＸ　は異なることに注意。 角度θの光線に沿って長さを　ｓ　とすると、ｄｓ＝ｄＸ/cosθ＝ｄＸ/μ　なので、 μdI(μ,λ,τλ)/dτλ＝I(τλ,λ)－S(τλ) または簡単に、　　μdI/dτ＝I－S　となる。 光線に沿った光学深さをｔとすると、ｄｔ＝ｄτ/μ

何故、色々な角度の光線を扱うのか？ 鉛直方向の光線だけでよいではないか。問題４－Ａ θ１ θ２ θ３

５．２．平面近似でのモーメント方程式 ( i ) 両辺をdΩ/4πで積分する。 dＨλ/dτλ= Jλ – Sλ μdI(μ,λ,τλ)/dτλ＝I(τλ,λ)－S(τλ) または簡単に、　　μdI/dτ＝I－S ( i ) 両辺をdΩ/4πで積分する。 ∫[μdI/dτ]dΩ/4π＝∫IdΩ/4π－ ∫ＳdΩ/4π = d[∫μIdΩ/4π]/dτ dＨλ/dτλ= Jλ – Sλ (ii) 両辺にμをかけてdΩ/4πで積分 　d[∫μ2IdΩ/4π]/dτ 　＝∫μIdΩ/4π－∫μSdΩ/4π 　　　∫1-1μdμ=0 に注意すると、　　　 dK λ/dτλ= Hλ

　の意味 独立変数をｘに戻し（dτλ=‐κλρdｘ ）、最初の式をλで積分する。 ηλ=4π[ελ －κλJλ]、 η＝∫ ηλdλ　とおくと、 総フラックスＦ＝一定、すなわち、 η＝０でもdHλ / dｘ＝０とは限らない。 Ｆ＝一定でも深さに伴ないＦλは変化するので注意がいる。

の意味 （１） ｘに戻して、 (1/κλρ)[dKλ/dｘ]= - (1/4π)Fλ の意味　 ｘに戻して、　　　 　　　　　　　(1/κλρ)[dKλ/dｘ]= - (1/4π)Fλ Ⅰλ (ｘ、θ) ＝ Ｂλ [T(ｘ)] とすると、　（仮定１：　ローカルに熱平衡） 　　　　　　　Ｋλ ＝Jλ／３＝(1/3) Ｂλ (T) 　　　したがって、 （１） 次にλで積分する前に　 　　　Rosseland mean opacity　κR　　を定義する必要がある。

をλで積分すると、 （２） 次のような、平均κを考える。 　　　κRは、κλの[dＢλ(T)/dT] という重り付き調和平均である。すると、

結局、　（２）式 は、 となる。 　κR＝Rossland mean opacity

５．３．Rossland mean opacity κR κＲに効くのは、κiが小さい所とΔBiが大きい所でκiが大きい所は効かない。 Ｆ∝∑ΔBi /κi＝ΔB /κＲ Fi ∝ΔBi(T) /κi Bi Bi＋ΔBi

星の内部構造方程式との対応 平面近似の輻射方程式 星の構造の方程式 ① ② τ＝０ Ｒ＝Ｒ＊ Ｌ（Ｒ） Ｔ（Ｒ） τλ Ｒ＝０ 　　　平面近似の輻射方程式　　　　　　　　　　　星の構造の方程式 ① ②　 τ＝０ Ｒ＝Ｒ＊ Ｌ（Ｒ） Ｔ（Ｒ） Ｉ(λ、θ） τλ Ｒ＝０ Ｊλ（τλ）、Ｈλ（τλ）、Ｋλ（τλ）

dHλ / dτλ=Jλ – Sλ ： (平面近似輻射モーメント方程式) ①　エネルギー保存の式 dHλ / dτλ=Jλ – Sλ ：　 (平面近似輻射モーメント方程式) Ｆ=4π∫Hλdλ、η=4π∫[ελ －κλJλ]dλ とおくと、 dF(Ｒ)/dＲ=ρ(Ｒ)η(Ｒ) 今度は逆に、星の内部構造の式を変形する。 星のエネルギー保存式、 　　　(1/4πＲ2)dL(Ｒ)/dＲ=ρ(Ｒ)η(Ｒ) ＦとＬの関係は、 　　　L(Ｒ)=4πＲ2F(Ｒ) なので、 Ｌ＝４π(R+ΔR)2(F+ΔＦ） Ｌ＝４πR2F R R+ΔR ４π(R+ΔR)2(F+ΔＦ）＝ ４πR2F R2ΔＦ+2RFΔR=0 ΔＦ=－２（Ｆ／Ｒ）ΔR 前ページと比べると、 の差がある。この項が球曲率効果である。

② エネルギー拡散の式 ①と同じくＲに戻して、λで積分し、 κR＝Rossland mean opacity を導入すると、 ところで、 ② 　エネルギー拡散の式　　 　　　①と同じくＲに戻して、λで積分し、 κR＝Rossland mean opacity 　　を導入すると、 ところで、　 　　　L(Ｒ)=4πＲ2F(Ｒ) したがって、　 内部構造の式のκ＝κRとすれば、平面近似輻射モーメント方程式になる。

問題 ４－Ａ （天文学部生はなるべく４－Ｂを選ぶよう） 問題　４－Ａ　　　（天文学部生はなるべく４－Ｂを選ぶよう） 半径Ｒの星の表面でのフラックス＝Ｆ´　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　星からＤ離れた点での星からの光のフラックス＝Ｆ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　とする。半径Ｒの球面を通る輻射エネルギー＝半径Ｄの球面を通る輻射エネルギーなので、４πＲ２Ｆ´＝４πＤ２Ｆ、したがって　　　Ｆ＝（Ｒ / Ｄ）２Ｆ´　である。　 　　　　　　 この関係をフラックスの定義に戻り、輻射強度 I の積分から導いて見よう。 黒体と異なり、星の表面からの光は等方的に出ているわけではない。通常、輻射強度は鉛直方向に最も強く、水平方向に向かうにつれ弱くなる。その結果、外から星を見ると、星円盤の中心は明るく、縁は暗く見える（Ｌｉｍｂ　Ｄａｒｋｅｎｉｎｇ）。 星表面での輻射強度　Ｉの角度分布 星円盤の輝度（輻射強度　Ｉ）分布

地球から星表面上の１点を見るときの輻射強度を Ｉ（Ω）とし、星の表面上で、その光線（視線）方向への輻射強度を　Ｉ´（θ）とする。Ｉ（Ω）＝Ｉ´（θ）　である。 ｄΩ Ｉ´（θ） Ａ Ｉ（Ω） 地球Ａから星を観測するときのフラックス、 Ｆ ＝∫Ｉ （Ω）ｄΩ　　(cosθ＝１と考えてよいから） ただし、積分は星の表面の方向に限る。 星表面でのフラックス Ｆ´＝∫Ｉ´（θ）ｄΩ´　　　積分は上半球面に渡る。 上の２つの積分表式から、 Ｆ＝（Ｒ２ / Ｄ２）Ｆ´ となることを証明せよ。

問題　４－Ｂ　　　　　　　　　　　 距離１Ｋｐｃ，光度　Ｌ＝10,000Ｌｏ、Ｔｅｆｆ＝3,000 K の黒体スペクトルを持つ星が動径方向の光学的厚み τ（λ）＝τo (λ/１μ)－１．５ のダストシェルで覆われている。 （１）　ダストシェルがないときのこの星のスペクトルを、縦軸を log Fν(Jy) 、 横軸を　　　　　ｌog λ(μ)　（ ０．５＜ｌog λ(μ)＜２ ）として描け。　 σ＝５．６７×１０－８Ｗ／ｍ２／Ｋ４　Ｌｏ＝３．８５ ×１０２６Ｗ　１ｐｃ＝３．０８ ×１０１６ｍ （２）　 τo=５、１、０．５　の３つの場合につて、ダストシェルの吸収を受けた星のスペ　　　　クトルを上と同じ縦軸、横軸で描け。　 （３）　ダストを一定温度　Ｔｄ＝３００Ｋ 　と仮定し、ダストシェルが吸収した星の光は、　　　全てダストシェルから赤外熱輻射として再放射されるとする。ダストシェルが出し　　　た光が再びシェルで吸収されることはないとした場合の、この星のスペクトル　　　　　（吸収を受けた星の光＋ダストシェルからの放射）を（１）、（２）と同じく縦軸を　　　　　 log Fν(Jy) 、 横軸をlog λ(μ)として描け。 　　　吸収された星の光の総量＝ダストシェルが放射する光の総量　となること　　　　　　　に注意すること。

τ１ τ１Ｂ（Ｔｄ、λ） τ２ τ２Ｂ（Ｔｄ、λ） τ τ３Ｂ（Ｔｄ、λ） τ３ （２）　再吸収を考えないから、ダストシェルから放射される輻射強度は下図のように　　　　　Ｉ＝τＢとなり、観測されるフラックスＦ＝∫ＩｄΩ＝Ｂ（Ｔｄ、λ）∫τｄΩである。　　　　　ダストシェルの減光を受けた星の光と、ダストシェルの熱放射を足した結果の　　　　　スペクトルを、Ｔｄτo=５、１、０．５について（１）と同じように描け。 τ１ τ１Ｂ（Ｔｄ、λ） τ２ τ２Ｂ（Ｔｄ、λ） τ τ３Ｂ（Ｔｄ、λ） τ３ 星 ダストシェル