数理統計学(第四回） 分散の性質と重要な法則 浜田知久馬 数理統計学第４回

分散についての性質 V[X+Y]＝E[(X+Y－μx－μY)2] ＝E[(X－μx)2+(Y－μx)2 +2 (X－μY) (Y－μY) ] ＝ E[(X－μx)2]+ E[(Y－μY)2] 　　+2E[(X－μx) (Y－μY)] ＝V[X]+V[Y]+2・Cov[X,Y］ 独立のときは, V[X+Y]＝V[X]+V[Y] 数理統計学第４回

分散についての性質 ａは定数 V[a+X] ＝ E[(a+X－a－μx)2] ＝V[X] V[aX]＝E[(aX－aμx)2] 　　　　＝E[a(X－μx)2] 　　　　＝a2E[(X－μx)2] 　　　　　　 ＝a2 V[X] E[a+X]＝a+E[X],　 E[aX]＝a・E[X], 数理統計学第４回

分散についての性質 Ｚ＝a1X1+ a2X2+・・・+ apXp V[Ｚ]＝ΣΣaiajCov［Xi,Xｊ] ＝Σai2 V[Xi]+ΣΣ2aiajCov[Xi, Xｊ] 　　　　　　　　　　　　　　　ｉ < ｊ X1, X2, ・・・ ,Xpが互いに独立の場合 V[Ｚ] ＝Σai2 V[Xi] ＝a12V[X1]+a22V[X2]+・・・+ aｐ2V[Xｐ] （分散の加法性） 数理統計学第４回

分散についての性質 Ｚ＝a1X1+ a2X2 V[Ｚ]＝ V[a1X1+ a2X2] ＝ E[(a1X1+ a2X2 － a1μ1－ a2μ2)2] ＝ E[(a1X1－ a1μ1 + a2X2 － a1μ2)2] ＝ E[(a1X1－ a1μ1)2 ] + E[(a2X2－ a2μ2)2 ] +2E[(a1X1－ a1μ1)(a2X2－ a2μ2) ] ＝ a12V[X1]+a22V[X2] +2a1a2Cov[X1, X2] 数理統計学第４回

分散・共分散行列 3変数の場合 V[X1] Cov[X1, X2] Cov[X1, X3] V= Cov[X2, X1] 　 V[X2] 　　　　Cov[X2, X3] Cov[X3, X1] Cov[X3, X2] 　 V[X3] 一般にｐ変数ある場合， 分散・共分散行列はｐ×ｐの対称行列になる. 数理統計学第４回

行列表現 ａT=[a1，a2，・・・， ap] ａ：ｐ行のベクトル ｘT=[X1，X2，・・・，Xp] ｘ：ｐ行のベクトル V：分散・共分散行列(ｐ×ｐ)　 Z＝ａTｘ V[Ｚ]＝ａT Vａ Ｚ＝a1X1+ a2X2+ a3X3 の場合について V[Ｚ]を書き下せ． 数理統計学第４回

Ｚ＝a1X1+ a2X2+ a3X3の分散 Ｚ＝a1X1+ a2X2+ a3X3 V[Ｚ]＝ａT Vａ ＝a12V[X1]+ a1a2Cov[X1,X2]+ a1a3Cov[X1,X3] +a2a1Cov[X2,X１]+ a22V[X2]+a2a3Cov[X2,X3] +a3a1Cov[X3,X1]+ a3a2Cov[X3,X2]+ a32V[X3] 数理統計学第４回

共分散の計算 Ｚ1＝a1X1+ a2X2+ ・・・+a3X3＝ａTｘ Ｚ2＝ｂ1X1+ｂ2X2+ ・・・+ｂ3X3＝ｂTｘ のとき Cov[Ｚ1,Ｚ2]＝ Cov[ａTｘ,ｂTｘ] ＝ΣaibjCov［Xi,Xｊ] ＝ａT Vｂ V[Ｚ1]＝Cov[ａTｘ,ａTｘ] ＝ａT Vａ 数理統計学第４回

共分散の計算 Ｚ1＝a1X1+ a2X2+ a3X3 Ｚ1＝b1X1+ b2X2+ b3X3 Cov[Ｚ1,Ｚ2]＝ａT Vｂ ＝a1b1V[X1]+ a1b2Cov[X1,X2]+ a1b3Cov[X1,X3] +a2b1Cov[X2,X１]+ a2b2V[X2]+a2b3Cov[X2,X3] +a3b1Cov[X3,X1]+ a3b2Cov[X3,X2]+ a3b3V[X3] 数理統計学第４回

分散の加法性の応用 平均値の分散は？ X1, X2, ・・・ ,Xnが互いに独立に分散σ2の 分布にしたがうとき 数理統計学第４回

分散の加法性の応用 E[X]＝0,V[X]=32=9 E[Y]＝0,V[Y]=42=16 でかつXとYが独立のとき X+Yの期待値と分散は？ 数理統計学第４回

乱数による確認実験 data data; do i=1 to 1000; x=3*rannor(5963); y=4*rannor(5963); z1=x+y;z2=x-y;output; end; proc means mean var std maxdec=2;run; 数理統計学第４回

要約統計量 変数 平均値 分散 標準偏差 --------------------------------- 変数 平均値 分散 標準偏差 --------------------------------- x 0.05 8.72 2.95 y -0.05 16.07 4.01 z1 0.01 25.95 5.09 z2 0.10 23.65 4.86 ---------------------------------- 数理統計学第４回

演習問題 Ｘ1，Ｘ2，・・・，Ｘ6が確率変数でそれぞれ 独立に正規分布Ｎ(μ，σ2)に従っているとき，１）～７）の期待値と分散を示せ． ０） Ｘi: 解答例　期待値μ，分散σ2 数理統計学第４回

演習問題 数理統計学第４回

中心極限定理 Central Limit Theorem 多くの分布が一山分布になるのはなぜだろうか？ 例）センター入試，身長，血圧 中心:分布の中心,平均値は 極限：ｎを大きくすると 正規分布にしたがう. ｢和や平均値の分布は山型の分布にしたがう」 数理統計学第４回

平均値の２つの性質とSE １）平均値の分散(バラツキ)は生データの１／Ｎ，標準偏差に直せば１／√Ｎになる． ２）Ｎがある程度大きくなれば，平均値の分布は正規分布になる． 数理統計学第４回

乱数実験 Ａ）０，１の一様分布(0～1の間を等しい確率でとる)にしたがう乱数を１万個発生さる． Ｂ）一様分布にしたがう乱数を４万個発生させ，４個づつ組にして平均値を計１万個計算する. Ｃ）一様分布にしたがう乱数を９万個発生させ，９個づつ組にして１万個の平均値を計算する. 数理統計学第４回

生データのヒストグラム　A 0.00 0.30 0.60 0.90 Y1 200 400 度 数 数理統計学第４回

4個の平均のヒストグラム　B 0.00 0.30 0.60 0.90 Y4 500 1000 度 数 数理統計学第４回

9個の平均のヒストグラム C 0.00 0.30 0.60 0.90 Y9 500 1000 1500 度 数 数理統計学第４回

実験結果のまとめ 平均値 標準偏差 分散 Ａ）生データ 0.499 0.289 0.0838 　　　　　　　 平均値 標準偏差 分散 Ａ）生データ 0.499 0.289　0.0838 Ｂ）４個の平均 0.499　 0.144 0.0206 Ｃ）９個の平均 0.500 0.095 0.00906 数理統計学第４回

大数の法則(law of large numbers) 平均値はｎを大きくすると，真の値に収束する. 平均値→E(X)＝μ　（ｎ→∞） limP（|平均値－μ|≧ε）＝0 ｎ→∞ マルコフの不等式(Markov’s　inequality) チェビシェフの不等式(Chebyshev’s inequality) 数理統計学第４回

マルコフの不等式 X≧0：非負の確率変数 ｃ＞0：正の定数 P（X ≧ｃ）≦E（X）／ｃ 例）交通事故による死亡が10を越える確率は？ Y＝0　if　X＜ｃ 　　　c　if　X ≧ ｃ 常にY≦Xなので→ E（Y）≦E（X） E（Y）＝0×P(Y=0)+ｃ×P(Y=c)＝ｃ×P(X ≧ ｃ) E（Y）＝ｃ×P(X ≧ ｃ) ≦E（X） 数理統計学第４回

マルコフの不等式 Y=X Y ｃ ｃ X 数理統計学第４回

マルコフの不等式の応用 宝くじで１等２億円が当たる確率は？ X：宝くじの賞金金額 P（X ≧ ２億円） E（X）＝150円,ｃ＝ ２億円 ＝ 150円／ ２億円＝1/133万 正確な確率は1/500万 数理統計学第４回

チェビシェフの不等式 E（X）＝μ,V（X）＝σ2 P（|X－μ| ≧ｃ）≦σ2／ｃ2 Y＝（ X－μ）2とおいてマルコフの不等式を適用 P（Y ≧ｃ2 ）≦E（Y）／ｃ2 ＝ σ2 ／ｃ2 Y ≧ｃ2 ⇔ |X－μ| ≧ｃ　なので P（Y ≧ｃ2 ） ＝P（|X－μ| ≧ｃ） 数理統計学第４回

チェビシェフの不等式の意味 σ2=１のとき ｃ チェビシェフの上限 正規分布 1 1 0.32 2 0.25(1/22) 0.05 ｃ　　チェビシェフの上限　　正規分布 1　　　　　1　　　　　　　　　　　0.32　 2　　　　　0.25(1/22)　　　　　　0.05 3　　　　　0.11(1/32)　　　　　　0.003 4　　　　　0.06(1/42)　　　　　　＜0.0001 数理統計学第４回

日本人身長の例(浜田世代） 男性 平均：170.1 SD：5.6 単位(cm) 平均±SD ：164.5～175.7 数理統計学第４回

日本人身長の例(浜田世代） 女性 平均：157.3 SD：5.0 単位(cm) 平均±SD ：152.3～162.3 数理統計学第４回

大数の法則 　　にチェビシェフの不等式を適用すると ｎ→∞のとき右辺は0に収束するから 数理統計学第４回