確率と統計 平成23年12月8日 (徐々に統計へ戻ります)

Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology) 今日の内容 確率変数と期待値 　＜＝ ここまで確率 母集団と標本 パラメータと統計値 　（μとm，およびσ2とs2) 標本平均とその分散 Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology)

Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology) 確率変数と期待値 確率変数とは： 無作為行為により定義される（得られる）値をとる変数のこと。 例： 「サイコロ投げ」での出る目 「コイン投げ」での裏表 箱から取り出される球の色　などの値をとる変数 Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology)

Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology) 確率変数の例 サイコロ投げ 出る目：　1, 2, 3, 4, 5, 6　（確率変数Xのとる値） このように無作為行為により与えられる値をとる変数（以後これをXと記す）を、確率変数という。 「確率変数Xは1, 2, 3, 4, 5, 6の値をとり、Xがそれぞれの値をとる確率は、1/6である。」などといい、例えば P( X = 1 ) = 1/6 あるいは、 P{ X = 1 } = 1/6 のように書く。 Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology)

Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology) 確率変数の例 （サイコロ投げ） 出る目：　確率変数X Xの値：　1, 2, 3, 4, 5, 6 P(X)：　　 X 1 2 3 4 5 6 P(X) 1/6 Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology)

Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology) 確率変数の例 （コイン投げ） 結果：　確率変数X Xの値：　H（表，Head）, T(裏，Tail) 確率関数P(X)：　　 X H T P(X) 1/2 Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology)

Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology) 確率変数の例 （球の取り出し） 出る球：　確率変数X Xの値：　赤，青，黒 確率関数P(X)：　　 ？ X 赤 青 黒 P(X) 3/5 1/5 Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology)

Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology) 確率変数と期待値 期待値とは： 確率変数のとる値の平均値 E(X) などと書く。 数学的定義： 確率変数Xの取り得る値を xi (i=1,2,…,n)、 各xiの生起確率を P(xi) とするとき、 E(X) = x1・ P(x1) +x2・ P(x2) +x3・ P(x3) + … +xn・ P(xn) Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology)

Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology) 確率変数と期待値 例：サイコロ投げ 出る目X（これは確率変数）の期待値は、... (各自考えてみてください) Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology)

Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology) 期待値の例 （サイコロ投げ） 出る目：　確率変数X Xの値：　1, 2, 3, 4, 5, 6 確率関数P(X)：　 期待値E(X) =　1*(1/6) + 2*(1/6) + … + 6*(1/6) = (1 + 2 + … + 6)/6 = 21/6 = 3.5 X 1 2 3 4 5 6 P(X) 1/6 Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology)

Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology) 確率変数の例 （コイン投げ） 結果：　確率変数X Xの値：　H（表、Head）, T(裏、Tail) 確率関数P(X)：　　 期待値E(X)=H*(1/2) + T*(1/2) X H T P(X) 1/2 <- non-sense! Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology)

Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology) 練習問題 【問題】 大小２つのさいころを同時に投げるとき、２つのさいころの出る目の和の期待値を求めよ。 （ヒント） E( X + Y ) が求めたいもの。これを定義の式に基づいて計算すると．．． Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology)

Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology) 発展問題 【問題】 N個のさいころを同時に投げるとき、これらのさいころの出る目の和の期待値を求めよ。 （コメント）定義に基づいて計算することも勿論できますが、計算公式があります。余裕があれば、調べてみましょう。 Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology)

Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology) さて、… “確率”というものを前提として、これから 再び“統計”の話に入ります。 これ以後は、所謂 “数理統計学” の話になります。統計学を大いに楽しみましょう！ Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology)

Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology) 母集団と標本 母集団 (population) とは： 一般に、研究や調査の対象となっている集団のこと。 標本 (sample) とは： 母集団を代表する一部分として実際に観察されている集団のこと。 通常、母集団を対象とする実験や調査により得られる。 Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology)

Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology) 母集団と標本 無作為抽出 母平均：μ 母分散：σ２ 標本平均：m 標本分散：s2 標本 母集団 Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology)

Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology) パラメータと統計値 パラメータ（母数）： 母集団の特徴を表わす数値 μ（母平均）やσ2（母分散）など 統計値(統計量)： 標本の特徴を表わす数値（データから算出可能） m（標本平均）やs2 (標本分散)など Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology)

Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology) パラメータと統計値 μ と m の関係 σ２ と ｓ２ の関係 を調べてみよう。 Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology)

Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology) 定義の確認 平均 = (データの合計)÷(データの個数) = ( x1 + x2 + x3 + … + xn ) / n 分散 = (偏差の自乗)÷(データの個数 - 1) = {(x1 – m）2 + (x2 – m）2 + … + (xn – m）2 } / (n – 1) この式を利用する。 Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology)

Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology) 母集団と標本 標本平均：m 標本分散：s2 母平均：μ 母分散：σ２ 無作為抽出 1 5 2 3 4 4 1 3 標本 (標本の大きさn=3) 母集団 (母集団の大きさN=5) Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology)

Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology) 母集団の分析 母集団 : {1, 2, 3, 4, 5}　（大きさN=5） μ　= (1 + 2 + 3 + 4 + 5) / 5 = 3 σ２ = {(1-3)2 + (2-3) 2 + (3-3) 2 + (4-3) 2 + (5-3) 2 } / (5-1) = (4 + 1 + 0 + 1 + 4) / 4 = 2.5 Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology)

Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology) m　= (1 + 2 + 3 + 4 + 5) / 5 = 3 s２ = {(1-3)2 + (2-3) 2 + (3-3) 2 + (4-3) 2 + (5-3) 2 } / (5-1) = (4 + 1 + 0 + 1 + 4) / 4 = 2.5 m=μ=3 s ２ = σ２ = 2.5 (当たり前!) 全数調査だから Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology)

Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology) 標本1: {1, 2, 3, 4} m = 5/2, s2 = 5/3 標本2: {1, 2, 3, 5} m = 11/4, s2 = 35/12 標本3: {1, 2, 4, 5} m = 3, s2 = 10/3 標本4: {1, 3, 4, 5} m = 13/4, s2 = 35/12 標本5: {2, 3, 4, 5} m = 7/2, s2 = 5/3 mの平均 = (5/2+11/4+3+13/4 +7/2)/5 = 3 = μ s ２の平均 = (5/3+35/12+10/3+35/12+5/3)/5 = 2.5 =σ２ (ぴったり一致！スゴイ) Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology)

Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology) n=3 n=2 n=1 標本1: {1, 2, 3} 標本1: {1, 2} 標本1: {1} 標本2: {1, 2, 4} 標本2: {1, 3} 標本1: {2} 標本3: {1, 2, 5} 標本3: {1, 4} 標本1: {3} 標本4: {1, 3, 4} 標本4: {1, 5} 標本1: {4} 標本5: {1, 3, 5} 標本5: {2, 3} 標本1: {5} 標本6: {1, 4, 5} 標本6: {2, 4} 標本7: {2, 3, 4} 標本7: {2, 5} 標本8: {2, 3, 5} 標本8: {3, 4} 標本9: {2, 4, 5} 標本9: {3, 5} 標本10: {3, 4, 5} 標本10: {4, 5} 各自でそれぞれのmとs2を 計算してみよう！ Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology)

Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology) 是非計算してみてみよう！ （手を動かして、汗して学んだものは 　よく身につきます。） Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology)

Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology) 練習問題（宿題） 問題　　母集団 {1, 2, 3, 4, 5}　（大きさN=5）に対して、大きさn=３の標本を作るとき、以下の問(1)～(4)に答えよ。 （１）n=3のときの標本をすべて列挙せよ。 （２）これらの各標本の平均をそれぞれ求めよ。 （３）「上記（２）で求めた平均」の平均を求めよ。 （４）上記（３）で求めた平均と母平均を比べよ。 Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology)

Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology) 母平均 標本平均の平均 E(m) =μ 発展問題 証明してみよう！ 標本平均 Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology)

Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology) 標本平均mの性質（重要） 大きさｎの標本から求めた標本平均ｍの 平均（期待値）と分散は、次の性質を持つ。 E(m) =μ （標本平均ｍの期待値は、母平均μと等しい。） V(m) = σ2/n （標本平均mの分散は、母分散σ2の1/n。） Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology)

Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology) E(s2) =σ2 （標本分散s2の期待値は、母分散σ2と等しい。） 　（注）　E(s) ≠σ Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology)

Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology) 確認 E(m)=μ V(m) = σ2/n E(s2)=σ2 E(s) ≠σ Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology)

Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology) 課題１　　母集団：{1, 2, 3, 4, 5, 6}に対し、n=3の標本を作るとする。このとき、 　・E(m)=μ 　・E(s2)=σ2 であることを計算により確かめよ。 Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology)

Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology) 提出日：平成23年12月15日（木） 　　　　　授業時間中 提出形式：A4レポート用紙（表紙をつけること）。手書きでもOK. 「確かめました」等だけのものは不可。 簡単でいいので説明文（や必要なら計算式）を書いてください。 Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology)

順次推定と検定へと話を すすみましょう。お楽しみに！ 予告 順次推定と検定へと話を すすみましょう。お楽しみに！ 途中で、確率分布 の話も入ります。予習しておくといいかも… Probability and Statistics 2011 (Tukyo University of Technology)