気体の熱的挙動 KANO 気体の挙動

用語の定義（１）：仕事，熱 仕事 熱 断熱過程 力ｘ移動距離， 1 J = 1 N・m 温度差のある物体間を移動するエネルギー 水1ccの温度を1度上昇させる熱：約1 cal～4.2J 断熱過程 外部からの熱の出入りがない KANO 気体の挙動

用語の定義（２）：内部エネルギー 内部エネルギーとは、物体が持つエネルギーからその力学的エネルギーを引き去った部分 物体が熱を吸収して温度が上昇すると 　　内部エネルギーが増加する 物体が外部から仕事をされて運動しなければ 力学的エネルギー　＝　運動エネルギー＋位置エネルギー 運動エネルギー　＝　質量×速度の２乗÷２ 重力の位置エネルギー＝質量×重力加速度×高度差 KANO 気体の挙動

気体の断熱膨張と 内部エネルギー変化（１） 仕事をしながら断熱的に膨張したとき 内部エネルギーを用いて外部に仕事をする 膨張して外部に仕事をすると、気体の温度が下がる 　　→　内部エネルギーは 　　　　　温度で変わる シリンダー内の圧力と、おもりが押す力とがつり合う おもりを取り去ると，新しい平衡点へピストンが移動する ピストン（したがって気体）は仕事をする 移動する前後で，気体は全体として静止（運動エネルギーは 変化しない）．図の縦型のピストンだと，実は気体の位置エネ ルギーはわずかに変化するが，気体の質量が非常に小さい ため，位置エネルギーの変化も無視できる．こうして気体の 内部エネルギーだけに注目すればよいことがわかる KANO 気体の挙動

気体の断熱膨張と 内部エネルギー変化（２） 真空中に膨張させても、壁は移動していなので、気体は外部に仕事をしない 希薄なら気体粒子間に力が作用しない，この膨張過程では気体の内部に対しても仕事しない 内部エネルギーが変わらないので温度も変わらない 真空容器中で気体を膨張させる 気体が希薄なら温度は下がらない KANO 気体の挙動

気体の内部エネルギー 希薄な気体の内部エネルギー 内部エネルギーの実体は？ 温度だけで決まる シリンダー内の気体の量で決まる 気体分子運動論 統計力学 KANO 気体の挙動

気体の等温過程と 仕事に変わった熱 等温 外部にした仕事 内部エネルギーが不変 熱源から取り出した熱エネルギーと等しい ピストンがわずかに上昇して仕事をする 内部エネルギーがわずかに減少 温度がわずかに下がる 温度差が生じて熱源から熱が流入する 温度が熱源と同じになる 内部エネルギーが回復する 等温 内部エネルギーが不変 外部にした仕事 熱源から取り出した熱エネルギーと等しい KANO 気体の挙動

用語の定義(3):圧力 圧力 単位面積あたりの力 地球大気による圧力～105Pa 分子運動論 Pa（パスカル）=１N/m2 水銀柱で78cm 分子が壁に当たって跳ね返るときの運動量変化 KANO 気体の挙動

気体の熱膨張と絶対温度 気体温度計 Kelvin温度（絶対温度） 温度上昇：定圧で膨張 実験：温度をセ氏で表すと、希薄な気体の熱膨張率は気体の種類によらず 約1/273 Kelvin温度（絶対温度） セ氏温度と同じ目盛りの間隔 ０℃～273 K KANO 気体の挙動

希薄な気体の状態方程式 状態方程式 P V = n R T Boyl（1660） V ∝ 1/P 一定温度で気体の体積は圧力に反比例する Charles(1787) ΔV ∝ΔＴ 一定圧力で気体の体積の増加は温度上昇に比例する Avogadro(1811) 仮説：同じ温度と圧力のもとで，すべての気体は同じ体積に同数の分子を含む 希薄な気体 １モル 水素原子1モルあると約1グラム ～ 6.02 x 1023個のあつまり 1モル，１気圧，0℃で 22.4リットル～22.4/1000 m3 種類によらず 状態方程式 P V = n R T 気体の量　n （1モル） 温度 T (０℃ = 273 K) 圧力 P (１気圧 = 1013 x 100 N/m2) 体積 V (標準体積 = 22.4 x 10－3 m3) R = PV/T = 8.3 J / (モル K) KANO 気体の挙動

希薄な気体の内部エネルギー 気体分子運動論の初歩 衝突の頻度を考える。 十分に長い時間　T　 でみると、1個の粒子 が一方の壁と衝突す る回数がT/(2t)となる。 粒子はN個あるので、 T　の間に生じる衝突 回数は NＴ/(2t) であ る。 　つぎに、衝突で生じ る運動量の変化につ いて考える。１回の衝 突ではΔpxだけ粒子 の運動量が変わるか ら、Tの間には気体全 体としてこの壁から受 ける力による運動量の 変化が「Δpx・衝突回 数」となる。 　時間T内に Δpx・NT/(2t)だけ 運動量の変化が起き るのだから、それを起 こした力は、運動量変 化を時間で割り Δpx・N/(2t)である。 気体が受けたこの力 の反作用は、気体が 壁を押した力である。 希薄な気体 大きさが無視できるN個の粒子が互いに独立に運動 相互作用エネルギーなし 単原子分子のとき 　　　全エネルギー 　　＝ 内部エネルギー 　 ＝ 粒子の運動エネルギーの総和 計算の要点 圧力＝容器壁と粒子の衝突 1回の衝突による運動量変化 力＝単位時間内の全運動量変化 S Lx KANO 気体の挙動

熱容量，比熱 理科年表 KANO 気体の挙動

定義（４）：定積モル比熱 CV dQ = CV dT １モル物質の体積を一定に保ち加熱 吸収した熱量dQと温度上昇dTの比 １モル物質の体積を一定に保ち加熱　 吸収した熱量dQと温度上昇dTの比 dQ = CV dT 熱を注入すると，すべて内部エネルギーになる CVは温度上昇にともなう内部エネルギー増加を表す比例係数 KANO 気体の挙動

定義（５）：定圧モル比熱 CP 物質１モルに加える圧力を一定に保ち加熱 CP はCV より大きくなる 注入した熱は，温度上昇による内部エネルギー増加だけでなく，体積増加による外部への仕事となる dQ = CV dT ＋ P dV = CＰ dT CP はCV より大きくなる 底面積Ｓのピストンが微小な距離ｄｘ だけ動いたことで気体の体積が dV = S dxだけ変化したとする。 圧力Ｐは、ピストンの底面に加わる 力Fを底面積で割ったもの P = F/Sで ある。P dV = (F/S)(S dx) = Fdx となりピストン気体から力Fをうけなが らdx移動したのだから、気体はピス トン（を通じて外部）に仕事 F dx = P dVをしたことになる。 KANO 気体の挙動

定義（６）：比熱比 CPとCV の関係 １モルの希薄な気体を定圧で加熱する.状態方程式 Ｐ＝一定でＰＶ=RT の微分 比熱比 内部エネルギーの構成によりγが異なる 運動エネルギー，振動エネルギー，回転エネルギー，… CPとCV の関係 １モルの希薄な気体を定圧で加熱する.状態方程式 Ｐ＝一定でＰＶ=RT の微分 →　P dV = R dT 前ページの結論　P dV = (CP - CV) dT →　CP　= CV + R KANO 気体の挙動

比熱比 　単原子分子 　　：f=0，γ=5/3 　2原子分子 回転 　　：ｆ＝２, γ=7/5　　 理科年表 KANO 気体の挙動

気体の断熱変化 P 等温変化 V 断熱変化 希薄な気体を断熱的に膨張・圧縮すると圧力や温度はどう変化するか？ eを底とする対数を ln と書くこと にしよう。記号「ｌｎ」はログ・ナチュ ラルすなわち自然対数。基本的な 積分の式： ∫dx/x = ln |x| + 定数 ここで、変数はxでなくてもよい： ∫df/f = ln|f| +　定数 f→T また f→Vとして(T,Vは正 だから絶対値記号を取り去って) (C/R) ln T = - ln V + 定数 を得る。 気体の断熱変化 希薄な気体を断熱的に膨張・圧縮すると圧力や温度はどう変化するか？ 断熱変化で仕事をすると温度が変わる 温度変化による内部エネルギー変化　＝　CV　ｄＴ 内部エネルギー変化＝外部にした仕事 CV dT = - P dV 外に仕事をするとき，ｄＴ＜０，また体積が増えるのでＰ ｄＶ＞０ 状態方程式(PV=RT→P=RT/V）を用いる Ｐ ｄＶ　= (R T/V )dV　=RT dV/V CV dT = －P dV = －R T dV / V → (CV / R) dT / T = －dV / V γ=1+2/(3+f) 　ｆ：　分子の内部運動の自由度 　単原子　f=0，γ=5/3   P 等温変化 断熱変化 V KANO 気体の挙動

P-Vダイアグラムと仕事 力ｘ移動距離 圧力×体積変化 仕事を計算する方法 ピストン・シリンダー 力＝圧力×断面積 移動距離×断面積＝体積変化 圧力×体積変化 P 面積＝１サイクルで 外部にした仕事 回転方向に 注意 面積＝ 外部にした仕事 ↑の向きに注意 外部からされた仕事 V KANO 気体の挙動

カルノーサイクル(1) 希薄な気体による動作 熱源：高温（TH）と低温（TL） TLで等温圧縮(isothermal) VC→VD 熱放出＝仕事をされる THまで断熱圧縮(adiabatic) VD→VA 内部エネルギー増加＝仕事をされる THで等温膨張 VA→VB 熱吸収＝仕事をする TLまで断熱膨張 VB→VC 内部エネルギー減少＝仕事をする （VC　，TL） （VD　，TL） （VA　，TH） （VB　，TH） TL TH |QH| |QL| http://www.rawbw.com/~xmwang/javappl/carnotC.html KANO 気体の挙動

カルノーサイクル（２） 効率 エンジンに流入した正味の熱量を計算する 等温＋断熱過程の1サイクルでエンジンが外部にす る仕事を計算する 熱の出入は等温過程で起きる 希薄な気体の等温過程は内部エネルギー不変 流入出した熱量は等温過程でした正味の仕事と一致 等温＋断熱過程の1サイクルでエンジンが外部にす る仕事を計算する 熱と仕事をあわせたエネルギー保存法則（第一法則） 気体が吸収した正味の熱量と外部への仕事が一致 エンジンの効率の定義 高温の熱源から吸収した熱の何％を仕事にしたか 熱源：高温（TH）と低温（TL） THで等温膨張:VA→VB TH からTLまで断熱膨張:VB→VC TLで等温圧縮:VC→VD TL からTHまで断熱圧縮:VD→VA KANO 気体の挙動

カルノーサイクル（３） 「可逆」の条件 熱源との熱平衡 変化は準静過程 熱源との温度差なし 実際の熱伝導には温度差が必要 温度差があるのに仕事をしない熱伝導 熱源との熱の出入りを０に近づけ，無限の時間をかける 変化は準静過程 釣り合いを保ちながらピストンを移動 実際にピストンが動き出すには不均衡が必要 均衡のとき外部へ及ぼす力が最大（しかし動かない） 無限の時間をかける 内部エネルギーを使ってできる最大の仕事 KANO 気体の挙動

参考：実在気体の状態方程式 排除効果による体積変化 圧力： 両者ともに分子間の引力で減少する 液体ー気体の相転移 bnだけ自由な空間の体積が減少 P=nRT/(V-bn) 圧力： 壁との衝突頻度 壁に与える力（衝突時の運動量） の積である 両者ともに分子間の引力で減少する -a(n/V)2 Tc 液体ー気体の相転移 KANO 気体の挙動