動力学(Dynamics) 力と運動方程式 ２００８．６．１０ 知能システム論１（８） 動力学(Dynamics) 力と運動方程式 ２００８．６．１０
練習問題 のとき、マニピュレータ先端部の 加速度ベクトルをもとめよ。 θ3 P3 リンク３ リンク2 θ2 P Z2 P2 Y2 X2 Z0,Z1 リンク1 Y1 X０ P1 θ1 Y0 X1
姿勢の算出 A1 単位行列 A2 A3
姿勢の計算 回転速度・加速度の計算
腕先端Ｐの加速度の計算 1 rad/sec
講義内容 １．はじめに ２．ベクトルの基礎 ３．運動学(Kinematics) ４．動力学（Dynamics) ５．行列の演算と応用(Matrix) ６．軌道計算(Trajectory) ７．ロボットの制御(Control) ８．応用(Application)
力のモーメント 大きさ： 方向： 向き： ｎ（ｒ と F を含む面に垂直） 右ねじ ｎ r |r|sinθ θ F
先端部における力と力のモーメントの効果 第 i 関節にかかる力のモーメント: 第 i 関節の回転力 Ti ： F M P P-Pi Zi Yi=pi Z0 X０ P1 Y0
ヤコビアン（係数行列）Jacobian J:ヤコビアン 上式を１つにまとめると次のようになる マニピュレータ先端の並進速度 マニピュレータ先端リンクの回転速度 上式を１つにまとめると次のようになる 自由度変数の 変化速度 先端の速度 J:ヤコビアン 例題のヤコビアン
例題 z x y
Ｔ3，⊿θ3 P Fx, Fx, Fx ⊿x, ⊿y, ⊿z Ｔ2，⊿θ2 Ｔ１，⊿θ1 Z0 X０ P1 Y0
動力学(Dynamics) 逆動力学： リンクの位置、速度、加速度から関節トルクを求める。 逆動力学： リンクの位置、速度、加速度から関節トルクを求める。 順動力学： 関節トルクからリンクの加速度を求める。 ・逆動力学はロボットの制御に用い、順動力学はロボットの シミュレーションに用いる。 ・ここでは、主として逆動力学について述べる。順動力学は 逆動力学に基づき展開することができる。 はじめに例題の３関節(自由度）ロボットを取り上げ、 各リンクの質量が重心に集中している場合を扱い、 一般への展開はその後考える。
運動方程式(Equation of Motion) 力とモーメント ベクトル リンク重心位置
各リンク重心の速度と加速度 回転速度ベクトル 回転加速度ベクトル
各リンクの力とモーメントの釣合い リンク３ リンク２ リンク1 関節トルク：
各リンクの運動方程式の一般形 ：慣性テンソル 慣性主軸 Ｘ軸周りの慣性モーメント となる軸
重心周りの角運動量 慣性乗積がゼロのＸ，Ｙ，Ｚ軸を選ぶと、
オイラー(Euler)方程式（ベクトル表現） 角運動量の時間微分が力のモーメント
とすると。
慣性モーメントの計算 Ｚ Ｙ Ｘ
慣性モーメントの計算 Ｒ Ｘ Ｚ Ｙ
逆動力学の計算手順 １) 各リンクの姿勢と重心位置(θ:given） ２） 各リンク重心の速度・回転速度（ :given） ４） 各リンクの運動方程式 ５） 各関節に加わる力・モーメントベクトル(Fi,Mi） ６） 各関節のトルク（Ti） １）～３）はベースから手先へ、 ４）～６）は手先からベースの向きに漸化式を立てる
オイラー(Euler)方程式 慣性主軸座標系でのオイラー方程式 慣性主軸 基準座標系でのオイラー方程式
オイラー(Euler)方程式