中学数学１年 ３章 方程式 §１　方程式とその解き方 （６時間）

§１　方程式とその解き方 ① 方程式とその解 例１ 　 10人の子どもたちに，１個 250円のケーキと，１個 100円のアイスをあわせて 10個買っていきたい。1600円で，できるだけ値段の高いケーキをたくさん買いたいとき，ケーキとアイスをそれぞれ何個ずつ買えばよいか考えてみよう。

《方程式を使わずにケーキとアイスの個数を求める》 　10個とも値段の安いアイスを買った場合の，残金を求める。 1600-100*10=600 (円) 　１個アイスをケーキに換えると，差額に150円かかる。残金600円をその差額150円でわると，ケーキに換えられる個数が求められる。 600/150=4 (個) 　10個からケーキの個数を引いて，アイスの個数を求める。 10-4=6 (個)

《方程式をつくる》 　ケーキの個数を x個とすると， 　アイスの個数は (10-x)個となる。 　ケーキ x個の代金 250x ^^(円) 　アイス (10-x)個の代金 100(10-x) (円) 　ケーキとアイスの合計の代金 1600 ^^^(円) 等式 250x+100(10-x)=1600 　文字xは，まだわかっていない数を表している。 　このような文字をふくみ，その文字がある値のとき成り立つような等式を方程式という。 方程式の解 方程式を成り立たせる文字の値 方程式を解く 方程式の解を求めること

　ケーキの個数 x=4 を，方程式の xに代入すると， 250*4+100*(10-4) =1000+100*6 =1000+600 =1600 　もとの方程式の右辺と等しくなるので， x=4 が方程式の解であることが，確かめられる。

例２ ３が方程式 2x-1=x+2 の解かどうか確かめてみよう。 　方程式の解であるか確かめるには，x に３を代入して，等式が成り立つかどうか調べればよい。 左辺 =2*3-1 =5 右辺 =3+2 =5 　左辺と右辺が等しいので，３はこの方程式の解である。 問１ 次の方程式で，-5 が解であるものに○をつけなさい。 (1) x-3=-8 ( ) ○ -5-3=-8 (2) 3x+5=10 ( ) * 3*(-5)+5=-10 (3) 2(3-x)=-3x+1 ^^^^( ) ○ 左辺 2{3-(-5)}=16 右辺 -3*(-5)+1=16

= = ② 等式の性質と方程式 《等式の性質１》 背の高さの等しい男の子と女の子がいるとする。 　背の高さの等しい男の子と女の子がいるとする。 　それぞれ同じ高さの台の上の乗ると，男の子と女の子の頭の位置関係はどうなるか？ 　※同じ数をたす場合 = = 　頭のてっぺんの位置はどちらも同じで， 等しい関係は変わらない。

= = 《等式の性質２》 次に，それぞれ同じ深さの穴に落ちたら，男の子と女の子の頭の位置関係はどうなるか？ ※同じ数をひく場合 　次に，それぞれ同じ深さの穴に落ちたら，男の子と女の子の頭の位置関係はどうなるか？ 　※同じ数をひく場合 = = 　頭のてっぺんの位置はどちらも同じで， やはり等しい関係は変わらない。

= = 《等式の性質３》 次に，それぞれ背の高さが２倍になれば，男の子と女の子の頭の位置関係はどうなるか？ ※同じ数をかける場合 　次に，それぞれ背の高さが２倍になれば，男の子と女の子の頭の位置関係はどうなるか？ 　※同じ数をかける場合 = = 　頭のてっぺんの位置はどちらも同じで， やはり等しい関係は変わらない。

= = 《等式の性質４》 1 次に，それぞれ背の高さを２で割れば (__倍すれば) ，男の子と 2 女の子の頭の位置関係はどうなるか？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1 　次に，それぞれ背の高さを２で割れば (__倍すれば) ，男の子と 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2 女の子の頭の位置関係はどうなるか？ 　※同じ数でわる場合 = = 　頭のてっぺんの位置はどちらも同じで， やはり等しい関係は変わらない。

= = 《等式の性質５》 次に，それぞれの位置を入れ替えたら，男の子と女の子の頭の位置関係はどうなるか？ ※両辺を入れかえる場合 　次に，それぞれの位置を入れ替えたら，男の子と女の子の頭の位置関係はどうなるか？ 　※両辺を入れかえる場合 = = 　頭のてっぺんの位置はどちらも同じで， やはり等しい関係は変わらない。

= = 《等式の性質６》 次に，地面の中に逆さにひっくり返って下を向けば，二人の頭の位置関係はどうなるか？ 　次に，地面の中に逆さにひっくり返って下を向けば，二人の頭の位置関係はどうなるか？ 　※負の数をかける，負の数でわる場合 = 　反対を向いても頭のてっぺんの位置はどちらも同じで， やはり等しい関係は変わらない。 =

等式の性質 ① 等式の両辺に同じ数をたしても，等式は成り立つ。 A=B ならば， A+C =B+C ② 等式の両辺から同じ数をひいても，等式は成り立つ。 A=B ならば， A-C =B-C ③ 等式の両辺に同じ数をかけても，等式は成り立つ。 A=B ならば， A*C =B*C ④ 等式の両辺を同じ数でわっても，等式は成り立つ。 A=B ならば， A/C =B/C 　※両辺を入れかえても，等式は成り立つ。 　　負の数をかけても，負の数でわっても，等式は成り立つ。

　等式の性質を使って，方程式を解いてみよう。 《両辺に同じ数をたす》 例１ 次の方程式を，等式の性質を使って解いてみよう。 (1) x-6=-3 　左辺を^^^^x^^^^だけにするために， 両辺に６をたす。 x-6 ^^^=-3 +6 ^+6 x=3 問１ 次の方程式を，等式の性質を使って解きなさい。 (1) x-9=3 (2) x-8=-10 x-9+9=3+9 x-8+8=-10+8 x=12 x=-2

《両辺から同じ数をひく》 例２ 次の方程式を，等式の性質を使って解いてみよう。 (1) x+12=9 　左辺を^^^^x^^^^だけにするために， 両辺から12をひく。 x+12 ^^^=9 -12 ^^^^-12 x=-3 問２ 次の方程式を，等式の性質を使って解きなさい。 (1) x+7=15 (2) x+6=2 x+7-7=15-7 x+6-6=2-6 x=8 x=-4

《両辺に同じ数をかける》 例３ 次の方程式を，等式の性質を使って解いてみよう。 ^^^^x __=-3 ^^^^4 (1) 　左辺を^^^^x^^^^だけにするために， 両辺に４をかける。 ^^^^x __ =-3 ^^^^4 *4 *4 x=-12 問３ 次の方程式を，等式の性質を使って解きなさい。 ^^^^x __=3 ^^^^7 ^^^^1 -__x=2 ^^^^6 (1) (2) ^^^^x __*7=3*7 ^^^^7 ^^^^1 -__x*(-6)=2*(-6) ^^^^6 x=21 x=-12

《両辺を同じ数でわる》 例４ 次の方程式を，等式の性質を使って解いてみよう。 (1) -7x=14 　左辺を^^^^x^^^^だけにするために， 両辺を-7でわる。 -7x =14 /(-7) /(-7) ^^^^-7x 14 _____=___ -7 -7 x=-2 問４ 次の方程式を，等式の性質を使って解きなさい。 (1) 5x=45 (2) -8x=-48 5x/5=45/5 -8x/(-8)=-48/(-8) ^^^^5x 45 ___=___ 5 5 ^^^^-8x -48 _____=_____ -8 -8 x=9 x=6

問５ 次の方程式を，等式の性質を使って解きなさい。 (1) x-8=23 (2) x+15=11 x-8+8=23+8 x+15-15=11-15 x=31 x=-4 ^^^^x __=5 ^^^^3 (3) 7+x=30 (4) 7+x-7=30-7 ^^^^x __*3=5*3 ^^^^3 x=23 x=15 (5) ^^^^1 ^^3 __x=-__ ^^^^8 ^^4 (6) 4x=-12 4x/4=-12/4 ^^^^1 ^^3 __x*8=-__*8 ^^^^8 ^^4 x=-3 x=-6

^^^^^1 2 x-__=__ ^^^^^3 3 (7) -7x=-35 (8) -7x/(-7)=-35/(-7) ^^^^^1 1 2 1 x-__+__=__+__ ^^^^^3 3 3 3 x=5 x=1 (9) x+1.6=-1.9 (10) 0.2x=-10 x+1.6-1.6=-1.9-1.6 0.2x/0.2=-10/0.2 x=-3.5 ^^0.2x -10 ____=_____ 0.2 0.2 x=-50

③ 方程式の解き方 《移項》 例１ 次の方程式を解いてみよう。 (1) x-3=5 ･･････① 　両辺に３をたして， x-3+3=5+3 　左辺だけ計算すると， x=5+3 ･･････② 　右辺も計算して， x=8 　①式と②式を比べると， 　①式の左辺にあった項-3が，+3と符号を変えて右辺に移っているように見える。 　等式では，一方の辺の項を，符号を変えて，他方の辺に移すことができる。これを移項するという。

例２ 次の方程式を移項を使って解いてみよう。 (1) 8x=5x-21 　右辺の 5x を左辺に移項して， 8x-5x=-21 3x=-21 x=-7 　方程式を解くには，移項することによって，文字をふくむ項を左辺に，数の項を右辺に集める。

問１ 次の方程式を解きなさい。 (1) 5x+8=23 (2) 6x-5=-17 5x=23-8 6x=-17+5 5x=15 6x=-12 x=3 x=-2 (3) 4x=50-6x (4) 3x=5x-14 4x+6x=50 3x-5x=-14 10x=50 -2x=-14 x=5 x=7

方程式を解く手順 ① 文字をふくむ項を左辺に，数の項を右辺に集める。 ② ax=b の形にする。 ③ 両辺を^^^^x^^^^の係数^^^^a^^^^でわる。

例３ 次の方程式を解いてみよう。 (1) 7x-2=6+3x 　-2，3x を移項して， 7x-3x=6+2 4x=8 x=2 問２ 次の方程式を解きなさい。 (1) 9x+2=4x+17 (2) 2x-18=-9-x 9x-4x=17-2 2x+x=-9+18 5x=15 3x=9 x=3 x=3

(3) 7x+15=3x-5 (4) 17-4x=8+5x 7x-3x=-5-15 -4x-5x=8-17 4x=-20 -9x=-9 x=-5 x=1 (5) 1-x=5x-2 (6) 12x-3=7x-3 -x-5x=-2-1 12x-7x=-3+3 -6x=-3 5x=0 ^^^^^^1 x=__ ^^^^^^2 x=0

《いろいろな方程式》 例４ かっこのある方程式を解いてみよう。 (1) 7(x-5)=9x+1 　かっこをはずして， 7x-35=9x+1 7x-9x=1+35 -2x=36 x=-18

問３ 次の方程式を解きなさい。 (1) 4x+1=3(x+2) (2) 2(x-4)=9x+20 4x+1=3x+6 2x-8=9x+20 4x-3x=6-1 2x-9x=20+8 x=5 -7x=28 x=-4 (3) -4(3+x)=5(6-x) (4) 5-2(7x-2)=1 -12-4x=30-5x 5-14x+4=1 -4x+5x=30+12 -14x=1-5-4 x=42 -14x=-8 ^^^^^^-8 x=____ ^^-14 ^^^^^4 x=__ ^^^^^7

例５ 係数に小数をふくむ方程式を解いてみよう。 (1) -0.3x+2=0.1x+1.5 両辺に 10 をかけて， (-0.3x+2)*10=(0.1x+1.5)*10 -3x+20=x+15 -3x-x=15-20 -4x=-5 ^^^^^^5 x=__ ^^^^^^4

問４ 次の方程式を解きなさい。 (1) 0.1x=0.4(x-2)-0.2 (2) 80x=240(x-2) 両辺に 10 をかけて， 両辺を 80 でわって， 0.1x*10=0.4(x-2)*10-0.2*10 x=3(x-2) ^^^^^x=4(x-2)-2 x=3x-6 ^^^^^x=4x-8-2 x-3x=-6 ^^^x-4x=-10 -2x=-6 ^^^^-3x=-10 x=3 ^^10 ^^^^^x=___ ^^^^^^3

例６ 係数に分数をふくむ方程式を解いてみよう。 ^^^^^1 2x-__=1 ^^^^^3 ^^^^^1 2x-__=1 ^^^^^3 (1) ^^^^^^1 2x=1+__ ^^^^^^3 両辺に３をかけて， 1 ^^^^^3(2x-__)=3 3 ^^^^^^4 2x=__ ^^^^^^3 6x-1=3 ^^^^^^2 x=__ ^^^^^^3 6x=3+1 6x=4 ^^^^^^4 x=__ ^^^^^^6 ^^^^^^2 x=__ ^^^^^^3

^^^x+1 1 _____=__x+2 2 ^^^^^5 ^^^x+1 1 _____=__x+2 2 ^^^^^5 (2) ^^^^x ^^^^^^^1 1 __+__=__x+2 ^^^^2 2 5 両辺に２と５の公倍数の 10 をかけて， ^^^^x ^^^^^^1 ^^1 __-__x=2-__ ^^^^2 5 ^^2 ^x+1 ^1 (_____)*10=(__x+2)*10 ^^^^^^^2 ^^^^5 ^^^^^^5 ^^2 ^^^^^4 1 ^^^^^^___x-___x=__-__ ^^10 ^10 ^^2 2 1 (x+1)*5=__x*10+2*10 5 3 ^^^^^3 ___x=__ ^^^^10 ^2 5x+5=2x+20 ^^^^^^^5x-2x=20-5 3 ^^^^^10 ^3 10 ___x*___=__*___ ^^^^10 ^^^^^^3 ^^^^2 ^^^^3 3x=15 x=5 x=5 　方程式の両辺に分母の公倍数（できれば最小公倍数）をかけて，分数をふくまない方程式になおすことを，分母をはらう という。

問５ 次の方程式を解きなさい。 ^^^^x-5 x-4 _____=_____ 6 3 ^^^^2 ^x-7 __x+2=_____ ^^^^3 ^^^^^^4 (1) (2) 両辺に６と３の公倍数の６を かけて， 両辺に３と４の公倍数の 12 をかけて， x-5 ^x-4 (_____)*6=(_____)*6 ^^^^^6 ^^3 ^2 ^^^^x-7 (__x+2)*12=(_____)*12 ^3 4 (x-5)*1=(x-4)*2 ^^^^2 __x*12+2*12=(x-7)*3 ^^^^3 x-5=2x-8 8x+24=3x-21 x-2x=-8+5 8x-3x=-21-24 -x=-3 5x=-45 x=3 x=-9

^^^^3x-4 8+x ______=_____ ^^^^5 ^^^^^4 ^^^^2x+3 x+3 ______=_____ ^^^^3 2 (3) (4) 両辺に５と４の公倍数の 20 を かけて， 両辺に３と２の公倍数の６を かけて， ^^3x-4 8+x (______)*20=(_____)*20 ^^5 ^^^^^^4 ^2x+3 ^^x+3 (______)*6=(_____)*6 ^^3 2 (3x-4)*4=(8+x)*5 (2x+3)*2=(x+3)*3 12x-16=40+5x 4x+6=3x+9 12x-5x=40+16 4x-3x=9-6 7x=56 x=3 x=8

一次方程式を解く手順 ① かっこがあればかっこをはずし，分数があれば 分母をはらう。 ② 文字をふくむ項を左辺に，数の項を右辺に集める。 ③ ax=b の形にする。 ④ 両辺を^^^^x^^^^の係数^^^^a^^^^でわる。 　ax=b の形に整理できる方程式を 一次方程式 という。

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