工業力学 補足スライド ● 配布物：授業ノート 3枚 (p.37～48)， スライド 2枚, 解答用紙 1枚 第6回：慣性モーメント Industrial Mechanics ● 配布物：授業ノート 3枚 (p.37～48)， 　 　　　　スライド 2枚, 解答用紙 1枚 　　　　　 (※ 6枚 1組になっています) 知能システム工学科 井上 康介 日立キャンパス E2棟801号室

注意事項 今回出題する宿題以降，学籍番号を 1枚目の左上に表記してください (アシスタント学生のソート作業の緩和のため) 確認：用紙サイズは A4版，複数枚に渡る場合は左上をホチキス留めすること． 18T○○○○ 提出日：○月○日 氏名：○○ ○○

回転体と重心 (パップス・ギュルダンの定理)  

回転体と重心 (パップス・ギュルダンの定理)  

パップス・ギュルダンの定理のまとめ 曲線を特定の軸周りに回転させてできる回転体の表面積は，曲線全体の長さを L，曲線の重心と軸との距離を d とすると，S = 2pdL である．これは，重心が軸の周りを1周する軌道の長さと曲線長の積 である． 平面上の領域を特定の軸周りに回転させてできる回転体の体積は，領域全体の面積を S，領域の重心と軸との距離を d とすると，V = 2pdS である．これは，重心が軸の周りを1周する軌道の長さと面積の積 である． L S G d d G 2pd 2pd

物体のすわり 物体のすわりがよいとか悪いとかいうとき，これは 物体の安定性 を言っている． ある状態に置かれた物体が安定であるか否かは，物体に微小な傾きを与えた時，物体がそのまま倒れるか，元の状態に戻ろうとするか によって，まずは判定できる． 微小に傾いたときに，物体が「戻ろうとする」か「もっと倒れようとする」かは，その時 発生しているモーメントが復元モーメントか転倒モーメントか によって決まる． そしてそのいずれが生じるかの条件は… 重心がもとの位置より上がる  復元モーメント (安定) 重心がもとの位置より下がる  転倒モーメント (不安定) 重心高さが不変  モーメントは発生しない (中立)

安定なすわり (stable) 物体を少し傾けると重心が上がる場合 重心にかかる重力 W と地面からの反力 R がつくる力のモーメントは，傾きを回復する方向の復元モーメント  戻ろうとする (安定)

不安定なすわり (unstable) 物体を少し傾けると重心が下る場合 重心にかかる重力 W と地面からの反力 R がつくる力のモーメントは，より傾ける方向の転倒モーメント  もっと倒れようとする (不安定)

中立なすわり (neutral) 物体を少し傾けても重心高さが変わらない場合 重心にかかる重力 W と地面からの反力 R の作用線が一致し，モーメントが生じない  倒れようとも戻ろうともしない (中立)

慣性モーメント

剛体の運動を解析するには これまで扱ってきた質点の力学では, 質点の 並進運動 だけを考えれば良かった． 剛体の力学では, 物体が大きさを持つので 並進運動 だけでなく 回転運動 も含めて考慮する必要がある． 一般には，剛体は並進しつつ回転する．  並進運動の式 と 回転運動の式 を併用して解析する． 並進運動 (translation) 回転運動 (rotation)

回転運動の法則性：角運動方程式 並進運動を数理的に解析する上での基本式：Newtonの運動方程式 f = ma これにより「物体に作用する力 f 」と「物体の加速度 a 」との関係が分かるので，物体が受けている力が分かれば運動が予測できる． 回転運動に対して同様の法則性を記述するとすればどうなるか？  角運動方程式 (Eulerの運動方程式) このように,「物体が受けているトルク N」と「物体の角加速度　 」との関係 が回転運動の法則性．

慣性モーメント Newtonの運動方程式をよく見れば，以下のことが言える． f = ma 力に比例して加速度は大きくなる． 質量に反比例して加速度は小さくなる. 質量とは「物体の動きにくさ (慣性)」を意味している． では，回転の運動方程式 (角運動方程式) ではどうか？ 質量に対応しているのは I であり，角加速度 (回転の加速度) は，I に反比例している．つまり，I は「物体の回りにくさ (回転に関する慣性)」であり，これを 慣性モーメント (moment of inertia) と呼ぶ．

慣性モーメントに関する定性的考察 慣性モーメント I とは，回転に関する慣性 (回りにくさ) であった． では，どういうとき物体は回りにくいか？ まず，形状が同じとすれば 質量が大きい とき回りにくいであろうことは直感的に分かる． また，以下の2つの物体が同じ質量だとしたとき… 回転軸近傍に質量が集まっている方が回しやすいっぽい  回転軸と質量との距離が大きい と回しにくい

慣性モーメントを定量的に求める 1 再び角運動方程式を見ると… 「物体全体の回転を角加速度　 で加速させるのに 必要なトルク は 　 である」と解釈できる． 物体を，微小部分 i (質量 mi，回転軸からの距離 ri) の集合体と考えると，全体の回転を　 で加速させるトルクは，各部分の回転を　 で加速させるトルクの合計である．  部分 i の軸まわりの回転を　で加 速させるのに必要なトルク Ni を 求めて，これを合算した全体の 必要トルク N を　 で割った値が 慣性モーメント I である！ mi ri

慣性モーメントを定量的に求める 2 部分 i の軸周りの回転を で加速するのに必要なトルク Ni を求める． 角加速度が であることから，部分 i の加速度は である．部分 i にこの加速度を与えるのに必要な力の大きさ fi は， である． fi は回転軸から部分 i までのベクトルに直交しているので，部分 i にこの力を与えるのに必要なトルクは 　　　　　　　 である． よって，物体全体の回転を で 加速させるのに必要なトルク N はその総和であり， である． fi mi ri 慣性モーメント

(部分の質量)・(部分と軸との距離)2 慣性モーメントを定量的に求める 3 より， ． 　　　　　　　　　　　　　より，　　　　　 ． 微小部分のサイズ (質量) をゼロに持って行く極限を取ると，連続体に対する慣性モーメントの式が求められる． 連続体の慣性モーメントは，物体の微小部分を考え，その微小質量 dm と軸からの距離 r を求めて積分して求める． 慣性モーメント (物体の回りにくさ＝回転の慣性) とは， (部分の質量)・(部分と軸との距離)2 を物体全体にわたって合算した値である

慣性モーメントを定量的に求める 4 例) 下記の細い (太さの無視できる) 長さ l，質量 m の棒を軸 L まわりで回転させるときの慣性モーメントを求める．ただし，線密度 (長さあたりの質量) を r とする (m = rl )． 軸 L から距離 x の位置に微小部分 (長さ dx ) をとると，その質量は dm = r dx である．先ほどの式に代入すれば，

慣性モーメントを定量的に求める 5 結合体の慣性モーメントはどうなるだろうか？ 結合体の全体を　 で回すのに必要な トルクを N とする ( )． 右図のように，それぞれの部分を回す のに必要なトルクは以下の通りとする． 全体を回すトルクはそれらの和である．

慣性モーメントを定量的に求める 6 N = N1+N2 より，I = I1+I2． すなわち， 同様の議論から，慣性モーメント IB の物体から慣性モーメント IP の部分を抜いた後の慣性モーメントは，抜く前の慣性モーメントから抜いた部分の慣性モーメントを引いた値となる．

有用な定理 1：平行軸の定理 下図の物体 (質量 m ) を重心 G を通る軸周りで回す時の慣性モーメントを IG とするとき，G から距離 d だけ離れた点O を通る平行な軸周りで回す慣性モーメントはどうなるか．

有用な定理 1：平行軸の定理 回転軸が z 軸方向となるように以下のように G を原点として座標軸をとり，物体上の微小部分 (質量 dm ) を考える．微小部分の座標を (x, y)T とする．微小部分と G との距離を r，O との距離を r ’ とする．

有用な定理 1：平行軸の定理 点 O 周りの慣性モーメントは以下の通りとなる． r2

有用な定理 1：平行軸の定理 ここが差分！ = 0 G 周りの慣性 モーメント IG 物体の全質量 = m 重心の x 座標と 有用な定理 1：平行軸の定理 G 周りの慣性 モーメント IG 物体の全質量 = m 重心の x 座標と 全質量の積 = 0 ここが差分！ = 0

平行軸の定理 (parallel axis theorem) 有用な定理 1：平行軸の定理 平行軸の定理 (parallel axis theorem) 物体の慣性モーメントは 重心を通る軸周りが一番小さく， そこから離れるにしたがって d 2m だけ増加する． 重心を通るある軸周りの慣性モーメントが分かっていれば，この定理を使って，その軸に平行な任意の軸周りの慣性モーメントを簡単に求められる． 質量 m の物体の重心 G を通る軸周りの物体の慣性モーメントを IG とするとき，その軸から距離 d だけ離れた平行軸周りの慣性モーメントは，IG に d 2m を足した量となる．

有用な定理 2：直交軸の定理 厚みの無視できる平面板に下図のように座標軸を取り，この板を x 軸，y 軸，z 軸周りで回すときの慣性モーメントをそれぞれ，Ix，Iy，Iz とする．

有用な定理 2：直交軸の定理 微小質量 dm を座標 (x, y, 0)T に取るとき，z 軸周りの慣性モーメントは となる． = Iy = Ix

有用な定理 2：直交軸の定理 直交軸の定理 (perpendicular axis theorem) 有用な定理 2：直交軸の定理 直交軸の定理 (perpendicular axis theorem) 平面板上の任意の点 O を通り，板に垂直な軸周りの慣性モーメントは，平面内の O を通り直交する2軸周りの慣性モーメントの和に等しい．

特定物体の慣性モーメントを求める 以上の考え方を使って特定物体の慣性 モーメントを求められる． 例) 右図の物体の軸 L 周りの慣性モーメ ントを求める． 円柱や直方体の 重心周り の慣性モー メントは，積分の計算 により求まる． この計算の中で 直交軸の定理 を活用． ( 結果が教科書の表 6・1 に出ている) 平行軸の定理 を使えば，右図の 軸 L 周り の部分ごとの慣性モーメントが分かる． さらに，「全体の慣性モーメント＝部分の慣性モーメントの和」であるから，求まった 部分ごとの慣性モーメントの合算 により全体の慣性モーメントが求まる． L