破壊基準 1 材料内部の発生応力が材料自体の強さに達すると その材料は破壊する。 金属のような延性材料は破壊の代わりに降伏し変 形し機械の機能を失う。この応力が降伏応力 σ y σ u =P/A で棒を引っ張った場合、Ａ面に直角に σ u =P/A が作用し破断する。この σ u を引っ張り 強さ という。 破壊（変形）は応力がどの状態 になった時に起きるか？ 現実は３次元で考える必要があ る。 長岡モノづくりアカデミー 3D-CAD/CAE コー ス ’15.9

１）最大主応力基準（破損包絡 面） 2 ３個の主応力のどれか が引張り強さに達した ら破損する。＝脆性材 料 ( ガラス ) 長岡モノづくりアカデミー 3D-CAD/CAE コー ス ’15.9

２）最大せん断応力基準（延性材料＝金 属） 3 モールの円 モールの応力円は主応力は９０度で交差し 最大せん断力は主応力と４５度をなすこと を示している。 延性材料は σ u に応力が大きくなる前に 耐力 σ ｙ で降伏（塑性変形）する。そし てその値は σ u の約半分である。 一軸引張り実験をするとリューダースライ ンが観察でき、その傾きは４５度である。 （この塑性変形は刃状転移の移動の結果と 言われている。） 実験結果から、 延性材の場合、材料はまず最大せん断応力 面で塑性変形をおこすことが示される。 最大せん断応力面で滑りが真っ先に起きる。 σ１σ１ σ ２ =0 τ max 長岡モノづくりアカデミー 3D-CAD/CAE コー ス ’15.9

最大せん断応力基準（その２） 最大せん断応力基準 降伏応力が τ y の材料の場合 となるような主応力が 生じたとき降伏する。 単純一軸引張りの場合 ：ト レスカの降伏条件 4 長岡モノづくりアカデミー 3D-CAD/CAE コー ス ’15.9

最大剪断応力基準の破損包絡面（トレスカの降伏条 件） 5 線図の範囲以内なら材料は降伏せず健全 長岡モノづくりアカデミー 3D-CAD/CAE コー ス ’15.9

トレスカの降伏条件：演習 6 図のような内圧がかかる薄肉円筒型圧力容 器（タンク）がある。 発生応力は 周方向： σθ ＝ｐｒ／ｔ 軸方向： σ ｘ＝ｐｒ／２ｔ 材料の降伏応力 σ ｙ＝２４０（ＭＰａ） ｒ＝２４０ｍｍ、ｔ＝１２ｍｍの時 トレスカの降伏条件より容器の降伏限界圧 力を求めよ。 （解：１２ＭＰａ、軸と平行に破断線が入 る）

３）せん断歪エネルギー基準（１） 7 ３次元 等方性体応力歪関係は 単位体積当たりの歪エネルギーＵは

せん断歪エネルギー基準（２） U= 式に 8 という恒等式を代 入。 Ｕは全歪エネルギ、 Ｕｖは体積変化を伴う歪エネルギ Ｕｄは体積変化を伴わない歪エネルギ これらの式を主応力で表現すると τ はゼロとなり次のように 書ける。

せん断歪エネルギー基準 （３） 9 今、このエネルギーのうちせん断歪エネルギＵｄがある値になると降伏 するという考えがある。 つまり、 一軸で考え、 σ1=σe （相当応力＝一軸でいう降伏応力）, σ2=σ3=0 とするなら、 長岡モノづくりアカデミー 3D-CAD/CAE コー ス ’15.9

せん断歪エネルギー基準 （４） 10 右辺の計算結果 （ミーゼス応力） が 一軸の実験で得られる降伏応力 σ ｅ になると降伏現象が発生する。 ２次元で考えやすくするため σ2=0 とすると、 長岡モノづくりアカデミー 3D-CAD/CAE コー ス ’15.9

せん断歪エネルギー基準 （５） 11 ４５ ° 座標変換すると楕円とな る。 ｘ ｙ 図に示すように実験結果は最大せん断応力説より最大歪エネルギー 説に近い線が得られている。＝＞ミーゼス応力は降伏が始まるかど うかを チェックしている。 長岡モノづくりアカデミー 3D-CAD/CAE コー ス ’15.9

12 ４）ミーゼス応力（剪断歪エネルギー基準を３次元で 考察） 応力は座標軸の取り方を工夫する と各主応力を軸方向とする 3 次元空 間が考えられる。 Ｐ点は 3 軸の主応力で表した点であ り、Ｍ点は 3 軸の主応力が全て等し い、静圧状態の点を結んだ点であ る。 Ｐ - Ｍの距離Ｌは Ｐが決まっているときの最短の Ｌは となり、３主応力の平均の静水圧点 σ ｍ のＭ点で与えら れる。 長岡モノづくりアカデミー 3D-CAD/CAE コー ス ’15.9

13 さらに原点からＭに向かうベク トルとベクトルＳの内積をとる と、 よって、Ｓベクトルは静水圧応力軸に直行する。 長岡モノづくりアカデミー 3D-CAD/CAE コー ス ’15.9

14 次に、Ｓ の長さ は ここで、１軸引張りを仮定する と、 なので 今、 σ １ が耐力 σ ｅ で在ったなら これ以上Ｓの長さが大きくなり円柱の外側になると材料は 変形するようになる。 水圧などは 3 主応力とも等しいので Ｓ の長さはゼロと なる。 長岡モノづくりアカデミー 3D-CAD/CAE コー ス ’15.9

15 ｘ ｙ 前ページの補足： したがって ｓ の長さが体積変化せずに単なる剪断 変形による変形エネルギーの指標になっているのである。 既に示した円柱が σ １ 、 σ ３ 軸でで きる平面での断面が 2 軸の場合で交 線は したの式で与えられることを示した。 この式より、円柱の半径が直接断面に現れる ｙ軸は楕円の短軸と なっ ていて で与えられる。長軸は で、最大せ ん断応力説 の包絡面の角を通って居る。 長岡モノづくりアカデミー 3D-CAD/CAE コー ス ’15.9

16 ミーゼス応力の工学的意味 延性材料の降伏現象 ( 変形すること ) を実験で確認するには 1 軸引張りで 確認するしかないが、現場で 1 軸の応力状態はまずない。そこで計算で 求まった結果を 1 軸と比較する方法が必要。 するとミーゼス応力が 1 軸の引張りのときの降伏応力と同値になる ので この応力で降伏現象の始まりを評価しているのである。 実験的にも 2 次元で確認しても、正しそうである。 つまり、静圧では降伏しないが、せん断変形によるエネルギーに関係 する、ミーゼス応力が、 1 軸引張りの降伏応力と等しくなったら変形が 始まるのである。 ミーゼス応力の使いやすいポイントは、ある接点なり要素が決まる とその場で量 ( スカラー ) で与えられることである。これにより降伏応力 と比較する等の比較が感覚的に理解しやすい。 長岡モノづくりアカデミー 3D-CAD/CAE コー ス ’15.9