資本市場論 (10) 債券投資分析 - 金利リスクの管理 - 資本市場論 (10) 債券投資分析 - 金利リスクの管理 - 三隅隆司 一橋大学商学部

リスクは、「変動性(variability)」ではなく「不確実性uncertainty)」に起因 はじめに リスクは、「変動性(variability)」ではなく「不確実性uncertainty)」に起因 　- 今後４年間のキャッシュ・フローが、1, -100, 1000, 0であ ることが確実に知られている。 　→「変動性」は高いが、リスクはない 今後４年間の各年のキャッシュ・フローは、等確率で　　 　+1 or -1 である。 　→「変動性」は低いが、リスクはある。 2 2

- 資産と負債の満期が異なることに起因するリスク。 金利リスク(1) 金利リスク 　- 資産と負債の満期が異なることに起因するリスク。 　- 資産・負債の市場価格の変動に起因するリスク Case 1： 　負債： １年満期 　　　　　　調達金利は年９% 　資産： ２年満期 　　　　　　運用金利は年10％ 3 3

借り換えリスク(Refinance Risk) 借り換えのコストが、資産運用収益より高くなる可能性の存在に起因するリスク 金利リスク(2) 　１年目は、１％の利益を確実に獲得 　２年目の収益は不確実 - 短期利子率が不変　　　　　　　 → 銀行は１％の利益 - 短期利子率が11%に上昇　　　　　　　 → 銀行は１％の損失 　借り換えリスク(Refinance Risk) 借り換えのコストが、資産運用収益より高くなる可能性の存在に起因するリスク 　e.g. 1980年代アメリカにおけるＳ＆Ｌの破綻 4

再投資リスク(Reinvestment Risk) 金利リスク(3) Case 2: 負債の満期が資産の満期よりも長い場合 負債：年 9 %、２年満期 資産：年 10%、１年満期 ２年目の資産運用利子率が年８%に低下 →１％の損失 再投資リスク(Reinvestment Risk) 固定金利で調達し、変動金利で運用する場合に存在。 5

さまざまな債券価格の、利子率変化に対する感応度を測る尺度。 デュレーション(1) デュレーション (Duration)： さまざまな債券価格の、利子率変化に対する感応度を測る尺度。 ある債券からのキャッシュフローの平均的満期。 　資産・負債の満期のみでなく、キャッシュフローのタイミン グまで考慮に入れており、満期よりも良い尺度。 6

（例１） - １年満期の債券 元本 100 万円 年利子率 15％ - 半年ごとに返済 - 元利均等返済 キャッシュフロー： デュレーション (2) （例１） - １年満期の債券 元本 100 万円 年利子率 15％ - 半年ごとに返済 - 元利均等返済 キャッシュフロー： 57.5 ( = 100×0.075 + 50 ) 53.75 ( = 50×0.075 + 50 ) 111.25 現在価値 : PV 1/2 = 57.5/1.075 = 53.49 PV1 = 53.75 /(1.075)2 = 46.51 PV 1/2 + PV1 = 100 7 7

満期のまでの期間の加重平均。ウェイトは、キャッシュフローの現在価値の相対的大きさ。 デュレーション (3) （例１）（続） デュレーション： 満期のまでの期間の加重平均。ウェイトは、キャッシュフローの現在価値の相対的大きさ。 X1/2= X1 = PV(1/2)/ (PV(1/2) + PV1 ) = 53.41 PV1/ (PV(1/2) + PV1 ) = 46.51 満期までの期間 デュレーション： 　　DL= X ½ ・(1/2) + X 1・(1) = 0.7329 (年) ウェイト 8

すべての返済が、期末に一括で一度だけ行われる債券(割引債)のデュレーションは、その満期までの期間と等しい。 デュレーション (4) デュレーションの意義： 元本100万円、年利子率15％、１年後の一括返済 CF1=115　 PV1= 115/1.15 = 100 DD= X1 ・(1) = 1 X1= PV1 /PV1 = 1 すべての返済が、期末に一括で一度だけ行われる債券(割引債)のデュレーションは、その満期までの期間と等しい。 ML – MD =　1 – 1 = 0 DL - DD = 0.7326 – 1 = - 0.2674 デュレーション・ギャップ 9

CFt:当該債券からのｔ期末のキャッシュフロー N : キャッシュフローが発生する最終期までの期間 デュレーション (5) Ｄ：デュレーション CFt:当該債券からのｔ期末のキャッシュフロー N : キャッシュフローが発生する最終期までの期間 DFｔ：割引因子＝１／（１＋Ｒ）ｔ：市場利子率 ＰＶｔ：ｔ期末になされるキャッシュフローの現在価値 10

例2） 利付債（ユーロボンド 満期６年）のデュレーション デュレーション (6) 例2） 利付債（ユーロボンド　満期６年）のデュレーション 　- 年１回利子が支払われる - クーポンレートは年８％ 　- 額面価格は1000ドル 　 - 市場利子率（現行の最終利回り）８％ 　このユーロボンドのデュレーションは？ t CFｔ DFｔ PVｔ PVt×t 1 80 (1/1.08)=0.9525 74.07 2 80 (1/1.082)=0.8573 68.59 137.18 3 80 (1/1.083)=0.7938 63.51 190.53 4 80 (1/1.084)=0.7350 58.80 235.20 5 80 (1/1.085)=0.6806 54.45 272.25 6 1,080 (1/1.085)=0.6302 680.58 4,083.71 = 4.993 (年) 11

例3） （２年U.S. TB) = 1.88 (年) - 半年ごとにクーポン支払い - クーポンレートは年８％ - 市場利子率は年12% デュレーション (７) 例3） （２年U.S. TB) 　- 半年ごとにクーポン支払い 　- クーポンレートは年８％ 　- 市場利子率は年12% 　- 額面価格１０００ドル このアメリカ短期国債のデュレーションは？ t CFｔ DFｔ PVｔ PVt×t 1/2 40 (1/1.06)=0.9434 37.74 18.87 1 40 (1/1.062)=0.8900 35.60 1 (½) 40 (1/1.063)=0.8396 33.58 50.37 2 1,040 (1/1.064)=0.7921 823.78 1647.56 = 1.88 (年) 12

額面価格100万円、市場利子率Ｒの場合、満期までの期間がN年であるこの債券の価格は。 デュレーション (8) 例4） （ゼロクーポン債） 　- 満期までの間で途中の支払いは全くない。 　- 満期時に額面価額での支払い。 　- 購入時に利子分を割り引いた価格で販売 額面価格100万円、市場利子率Ｒの場合、満期までの期間がN年であるこの債券の価格は。 P = 1,000,000/(1 + R) N 　支払いが満期時に一括して一度だけ行われるので、この（割引）債券のデュレーションは、その満期までの期間に等しい。 13

コンソル債 ： 満期のない（無限の満期）債券 19世紀にイギリスで発行。 デュレーション (9) 例５） （コンソル債） コンソル債 ： 満期のない（無限の満期）債券 　　　　　　　　 19世紀にイギリスで発行。 Ｒ：市場利子率 コンソル債のデュレーション(DC)は？ 14

固定された収入を生む（fixed-income)資産あるいは負債の満期が長くなるにつれて、そのデュレーションは長くなる。 デュレーションの性質(1) 満期とデュレーション： 固定された収入を生む（fixed-income)資産あるいは負債の満期が長くなるにつれて、そのデュレーションは長くなる。 満期(↑) 　　　　　→将来が相対的に高く評価される 市場利子率とデュレーション 市場利子率が高くなるにつれて、デュレーションは短くなる。 市場利子率(↑) →将来のキャッシュフローの相対的大きさ(↓)

証券のクーポンレートが高くなるにつれて、デュレーションは短くなる。 デュレーションの性質(2) クーポンレートとデュレーション 証券のクーポンレートが高くなるにつれて、デュレーションは短くなる。 クーポンレート(↑) 　　　　→投資家の早い時期の受取(↑) 　　　　→早い時期のウェイト(↑)

デュレーションは、資産あるいは負債価格の利子弾力性である。 デュレーションの経済学的意味(1) D* : 修正デュレーション デュレーションは、資産あるいは負債価格の利子弾力性である。 市場利子率の１％の変化が、負債・資産の価格を何％変化させるかを表すものがデュレーション。 市場利子率のほんの少しの変化に対して、負債・資産価格は、Ｄの大きさに比例して逆方向に変化。

市場利子率が１ベーシス・ポイント（1/100パーセント）上昇。 デュレーションの経済学的意味(2) 例6）（６年ユーロボンド） クーポンレート、市場利子率ともに８％。 デュレーションは、4.99年。 市場利子率が１ベーシス・ポイント（1/100パーセント）上昇。 dP/P = 4.99 × [0.0001 / 1.08 ] = - 0.000462 (- 0.0462 %) デュレーション 1 + R ΔR 市場利子率が１ベーシス・ポイント上昇したとき、債券価格は1000ドルから999.538ドルへ低下する。

例7）（２年U.S.短期国債） - 半年ごとにクーポン支払い - クーポンレートは年８％ - 市場利子率は年12% - 額面価格１０００ドル デュレーションの経済学的意味(3) 例7）（２年U.S.短期国債） 　- 半年ごとにクーポン支払い 　- クーポンレートは年８％ 　- 市場利子率は年12% 　- 額面価格１０００ドル 市場利子率が１ベーシスポイント上昇。 　　dP/P = 1.88 × [0.0001 / 1.06 ] = - 0.00018 (- 0.018 %) デュレーション 1 +(R/2) ΔR

デュレーションの主たる意義は、それが利子率リスクを管理するための手法を提供してくれる点にある。 免疫化 デュレーションの主たる意義は、それが利子率リスクを管理するための手法を提供してくれる点にある。 デュレーションを利用することによって、バランスシートの一 部あるいは全部の項目を、利子率リスクから保護する（免疫 化する）ことが可能となる。

- ５年後の支払いを約している企業を考える。 - 支払額は1469万円（５年後に一括支払）。 将来の支払いの免疫化(1) 将来支払額への利子率リスクの免疫化 　- ５年後の支払いを約している企業を考える。 　- 支払額は1469万円（５年後に一括支払）。 この負債は、５年後の一度だけ一括の支払を要するもの。 デュレーションは？　　 5年 　したがって、上記支払額に対する利子率リスクを免疫化するためには、デュレーション　年の資産を保有すればよい。 ５

割引債のデュレーションは、その満期に等しい。 将来の支払いの免疫化(2) i) ５年満期の割引債を保有 ８％複利、額面1,000万円の割引債の現在価格： Ｐ＝ 1,000/ (1.08)2 = 680.58 ５年後の受取額を１,４６９万円とするためには、現時点で1,000万円ほどこの割引債を購入すればよい。(1,000*(1.08)5=1,469) 割引債のデュレーションは、その満期に等しい。

５年物の割引債が存在しない場合には、どうすればよいか。 将来の支払いの免疫化(3) ii)利付債を購入する場合 ５年物の割引債が存在しない場合には、どうすればよいか。 ポイント： 年１回の利子支払い・クーポンレート８％・額面価格1000万円・６年満期のユーロボンドのデュレーションは５年（市場利子率８％）。 ６年ユーロボンドを購入し、それを５年間保有すればよい。 そのデュレーションが、目的としている期間と等しいクーポン債を保有することによって、利子率リスクを免疫化することが可能。

a)利子率が８％で不変の場合： 企業のキャッシュフロー： クーポン 5 × 80 = 400(万) 再投資所得 将来の支払いの免疫化(4) a)利子率が８％で不変の場合： 企業のキャッシュフロー： クーポン 5 × 80 = 400(万) 　 再投資所得 80×(1.08)4 + 80×(1.08)3 + 80×(1.08)2 + 80×(1.08) + 80 – 400 = 69(万) 　 ５年後の債券売却価格 1,080 / 1.08 = 1,000(万) 　 キャッシュ・フロー総額は: 1,469 万円

企業の受け取り総キャッシュフローは1469万円で変わらず。 将来の支払いの免疫化(5) b)市場利子率が７％に低下したとき クーポン　 5 × 80 = 400(万) 　 再投資収益 債券売却価格 1,080 / 1.07 = 1,009 (万) 　 企業の受け取り総キャッシュフローは1469万円で変わらず。 利子率の低下は、再投資収益の減少をもたらすが、それを相殺するだけの債券価格の上昇がある。

企業の受け取り総キャッシュフローは1469万円で変わらず。 将来の支払いの免疫化(6) c)市場利子率が９％に上昇 クーポン　 再投資収益　 債券売却価格　 400 (万円) 78 (万円) 991 (万円) 企業の受け取り総キャッシュフローは1469万円で変わらず。 市場利子率の上昇は、再投資収益の増大をもたらすが、それを相殺するだけの債券価格の低下があり、企業の受け取り総キャッシュフローは不変。

将来の支払いの免疫化(7) クーポン債（あるいは他の固定利子債券）のデュレーションを企業の目標投資期間と同一の長さとすることによって、企業が直面する利子率リスクを免疫化することが可能となる。 　 　　　 利子率の低下（上昇）がもたらす再投資収益の損失（利益）は、当該債券の価格上昇（低下）によって完全に相殺され、企業の受け取り総キャッシュフローは不変となる。

- 利子率の変化に対する債券価格変化の１次近似． コンベクシティ (1) デュレーション: - 利子率の変化に対する債券価格変化の１次近似． - 利子率とに債券価格の関係は非線形(凸関数)． 利子率の変化が大きいほど，デュレーションによもとづいて計算される債券価格の変化と実際の価格変化との乖離が大きくなる． → 債券価格と利子率の関係が線型ではないことに起因するギャップを埋めるものがコンベクシティ (Convexity) である．

利子率の変化にともなう債券価格の変化（ΔP）は，テーラー展開を用いて，以下のように書くことができる． コンベクシティ (2) 利子率の変化にともなう債券価格の変化（ΔP）は，テーラー展開を用いて，以下のように書くことができる． CV ： コンベクシティ

利子率が下がる場合の価格上昇幅が大きく， 利子率が上がる場合の価格下落幅が小さくなる． コンベクシティ (3) コンベクシティが大 　利子率が下がる場合の価格上昇幅が大きく， 　利子率が上がる場合の価格下落幅が小さくなる． 同一条件の債券あるいは債券ポートフォリオにおいては，コンベクシティが大きいほど投資対象として好ましい．

利子率(Ｒ）の変化が，債券価格にいかなる影響を与えるかを考えるために，上式をRで微分する． 付録： デュレーションの経済学的意味に対する数学注 (1) Ｐ ： 債券価格　　　　　　 Ｃ ： クーポン支払い（年次）　　Ｒ ： 最終利回り　　　Ｎ ： 満期までの期間　　Ｆ ： 額面価格 利子率(Ｒ）の変化が，債券価格にいかなる影響を与えるかを考えるために，上式をRで微分する． これを整理すると

デュレーションの定義より (＊) （*）の分母 ＝ Ｐ （*）の分子 ＝ したがって， 付録： デュレーションの経済学的意味に対する数学注 (2) デュレーションの定義より (＊) （*）の分母　＝　Ｐ （*）の分子　＝　 したがって，

付録： デュレーションの経済学的意味に対する数学注 (3) コンソル債のデュレーションについて

ある区間において，関数f(x) は第n階まで微分可能とする．このとき，その区間において，aを定点，xを任意の点として，以下が成立する． 数学付録 ： テーラー展開 ある区間において，関数f(x) は第n階まで微分可能とする．このとき，その区間において，aを定点，xを任意の点として，以下が成立する． ここで，