梁の曲げ １．外力としてのSFDとBMDおよびそれらの関係 ２．梁の曲げ応力 （外力により発生する内力） ３．梁のたわみの求め方 基礎コース　　　材料力学の基礎　　　　　　　　 　 梁の曲げ ここでは以下の事項を説明する。 １．外力としてのSFDとBMDおよびそれらの関係 ２．梁の曲げ応力 　　　　　　　　　　　（外力により発生する内力） ３．梁のたわみの求め方 　　　　　　　　　　　（静定はりー曲率、微分方程式） ４．力のかかり方による問題の解法の違い 　　　　　　　　　（集中荷重、集中モーメント、切断法） ５．力の釣り合いの他に、たわみの条件を必要とする 　　解法（不静定問題）

X 方向に伸びた長い棒状の構造物を梁といい、これに横方向の荷重が作用するとき、曲げ問題という。 基礎コース　　　材料力学の基礎　　　　　　　　 　 １．梁の剪断力と曲げモーメント 力のかかり方 X 方向に伸びた長い棒状の構造物を梁といい、これに横方向の荷重が作用するとき、曲げ問題という。 力の釣り合い 　　外力 P は A-A’ 面にはたらく剪断力　τ　 　　の合計力　Q　と釣り合う。 モーメントの釣り合い 　　O点においてはモーメント Pa と A-A’ 面に 　　おける引っ張り圧縮応力（これを曲げ応 　　力）による曲げモーメント　M　と釣り合う。

正（負）の方向を向いた剪断力が働くと正の剪断力と定義する。 その反対だと負。 基礎コース　　　材料力学の基礎　　　　　　　　 　 剪断力とモーメントの符号の定義 面の法線が正（負）のほうを向いた面に 正（負）の方向を向いた剪断力が働くと正の剪断力と定義する。 その反対だと負。 モーメントの場合正（負）の方向を向いた面に梁の中心をｚの正の方向に凸にするモーメントを正のモーメントと定義する。

剪断力図（ＳＦＤ）と曲げモーメント図（ＢＭＤ） 基礎コース　　　材料力学の基礎　　　　　　　　 　 剪断力図（ＳＦＤ）と曲げモーメント図（ＢＭＤ） 左の図のような片持ち梁にＰが作用すると、ｘの位置に置いて切り出した 仮想面には一定の剪断力Ｐが働き、その符号は正。 　また同様にこのＰによりｘの位置ではモーメントＰ(ｌ-x)が働き、その符号は負である。 　これをグラフに描いたものが ＳＦＤとＢＭＤである。 　これはｄｘと言う微小な部分を切り出して考えてもよい。

剪断力図（ＳＦＤ）と曲げモーメント図（ＢＭＤ）－－－等分布荷重の場合 基礎コース　　　材料力学の基礎　　　　　　　　 　 剪断力図（ＳＦＤ）と曲げモーメント図（ＢＭＤ）－－－等分布荷重の場合

剪断力図（ＳＦＤ）と曲げモーメント図（ＢＭＤ）－－－集中荷重両端支持 基礎コース　　　材料力学の基礎　　　　　　　　 　 剪断力図（ＳＦＤ）と曲げモーメント図（ＢＭＤ）－－－集中荷重両端支持 左図の様な集中荷重が作用する回転自由な両端支持の場合を考える。 　Ａ，Ｂに反力ＲＡ、ＲＢがはたらく。 力の釣り合い モーメントの釣り合い 釣り合い式より Ｃで分割して左と右に片持ち梁があると考えると考えやすい。すると 剪断力分布

剪断力図（ＳＦＤ）と曲げモーメント図（ＢＭＤ）－－－集中荷重両端支持 基礎コース　　　材料力学の基礎　　　　　　　　 　 剪断力図（ＳＦＤ）と曲げモーメント図（ＢＭＤ）－－－集中荷重両端支持 となり、絵で描くと

剪断力図（ＳＦＤ）と曲げモーメント図（ＢＭＤ）－－－集中モーメント両端支持 基礎コース　　　材料力学の基礎　　　　　　　　 　 剪断力図（ＳＦＤ）と曲げモーメント図（ＢＭＤ）－－－集中モーメント両端支持 図のようにＣ点に集中モーメントが働く場合の ＳＦＤとＢＭＤを求める。 力の釣り合い Ｃ点でのモーメントの釣り合い この2式より この反力が働くのでｘでのモーメントは

以上をまとめて、図に描くと左のようになる。 基礎コース　　　材料力学の基礎　　　　　　　　 　 以上をまとめて、図に描くと左のようになる。

図の様な一様な荷重が作用する両端支持梁のＳＦＤとＢＭＤを求めよ。 基礎コース　　　材料力学の基礎　　　　　　　　 　 演習1　 図の様な一様な荷重が作用する両端支持梁のＳＦＤとＢＭＤを求めよ。 略解 よって、Ｘにおける剪断力は 曲げモーメントも同様に考え

はりの曲げ応力 条件： はりの断面は梁が曲がっても平面。 ひずみは中立軸に関し対称。 （ひずみは z に関し一次的 基礎コース　　　材料力学の基礎　　　　　　　　 　 はりの曲げ応力 条件： はりの断面は梁が曲がっても平面。 ひずみは中立軸に関し対称。 　　（ひずみは z に関し一次的 　　　　　＝直線変化、よって応力も） 微小な距離 AA’ も BB’ もモーメントが働かないときは同一の長さ。 今、モーメント M が作用。 曲がってその小さなθの範囲での半径は Rと考える。 中立面上の AA’ は伸び縮みせず。外は伸び内側は縮む。 ひずみは； 応力は；

そこの面積は dA よって、中立軸周りのモーメントは 基礎コース　　　材料力学の基礎　　　　　　　　 　 中立軸から z 離れたところの応力は （１） そこの面積は dA よって、中立軸周りのモーメントは （２） よって断面全体で合計したモーメントが外部モーメントと釣り合う （３） （１）、（３）式より よって ここで積分で表された I のことを断面２次モーメント、EI を曲げ剛性と呼ぶ。 I は断面の形状から決まり、Eは材料のヤング率である。 長方形断面の断面２次モーメント：I は

重要事項の取りまとめ （長方形断面の場合） さらに、最大の応力が発生するのは、ｚが最大つまり、はりの上下面。 基礎コース　　　材料力学の基礎　　　　　　　　 　 重要事項の取りまとめ （長方形断面の場合） さらに、最大の応力が発生するのは、ｚが最大つまり、はりの上下面。 それぞれまでの最大値を　ｈ１、ｈ２　とすると ここで、I/h1 を Z1 とする。　 Z1 を形状係数と呼ぶ。 今、断面が長方形なら、h1=h/2 より 材料から見ると歪は梁の上面か下面で最大となり、応力も最大となるので となり、強度だけチェックするときは形状係数がわかっていればよい。

断面２次モーメント 中立軸からの距離の２次モーメントを 断面全体で積分したもののこと。 （ねじり中心点からの距離の２次モーメント 基礎コース　　　材料力学の基礎　　　　　　　　 　 断面２次モーメント 中立軸からの距離の２次モーメントを 断面全体で積分したもののこと。 　　　　　（ねじり中心点からの距離の２次モーメント 　　　　　　（断面極２次モーメント）と区別必要） 左のような円形断面の断面２次モーメントは

基礎コース　　　材料力学の基礎　　　　　　　　 　 円形断面の断面２次モーメント

断面２次モーメントの平行軸の定理 中立軸 y’ から e 離れた y 軸を中立軸として曲げるとき 断面２次モーメントは 基礎コース　　　材料力学の基礎　　　　　　　　 　 断面２次モーメントの平行軸の定理 中立軸 y’ から e 離れた y 軸を中立軸として曲げるとき 断面２次モーメントは 図心（重心）は中立軸 y’ 上にあるので第２項はゼロ。 第１項の積分は単に面積、第３項は Iy’　。 の関係がある。 同じ量（断面積が同じ）の材料を使っても曲げる中立軸から遠くに材料を集めると、元の固さより、 分だけ固くなることを意味する。

たわみ＝＞（１）曲率とは 書き換えると である。 実は、この １／R は曲率と呼ばれていて １ｍ進んだ時の向きの変化量：曲率 図より 基礎コース　　　材料力学の基礎　　　　　　　　 　 たわみ＝＞（１）曲率とは 書き換えると である。 実は、この　１／R　は曲率と呼ばれていて １ｍ進んだ時の向きの変化量：曲率 図より

梁の傾き z’<<1 となるように座標を通常とるので、 基礎コース　　　材料力学の基礎　　　　　　　　 　 よって さてここで なので 材力のたわみの問題の場合　 梁の傾き　z’<<1 　となるように座標を通常とるので、 とみなせる。

たわみ＝＞（２）たわみを求める式は E は材料により決まるヤング率という剛性。 I は梁の断面形状により決まる剛性。 基礎コース　　　材料力学の基礎　　　　　　　　 　 たわみ＝＞（２）たわみを求める式は 以上の議論より、たわみを求めるには なる方程式を解くことに帰着する。 １）BMDより、ｘの位置におけるモーメントがｘの関数として求まる。 ２）曲げ剛性　EI　を設計で決める。 　　　　　　　　E　は材料により決まるヤング率という剛性。 　　　　　　　　I　は梁の断面形状により決まる剛性。 ３）上の微分方程式を解き変形曲線を求め、境界値を用い、たわみ曲線を決定 　　することとなる。

梁の曲げたわみの求め方１（単純片持ち梁） 左のような片持ち梁を考える。 これを曲げの方程式に代入 基礎コース　　　材料力学の基礎　　　　　　　　 　 梁の曲げたわみの求め方１（単純片持ち梁） 左のような片持ち梁を考える。 これを曲げの方程式に代入 境界条件は x=0 で　z’=z=0. より　C1=C2=0. よって、たわみを表す関数は

梁の曲げたわみの求め方２（等分布荷重両端単純支持） 基礎コース　　　材料力学の基礎　　　　　　　　 　 梁の曲げたわみの求め方２（等分布荷重両端単純支持） 境界条件は　x=0 ,　x=l で z=0. よって、 たわみ曲線は

梁の曲げたわみの求め方３（切断法） （集中荷重や集中モーメント、部分荷重等ある位置でBMDが別の形になる場合） 基礎コース　　　材料力学の基礎　　　　　　　　 　 梁の曲げたわみの求め方３（切断法） （集中荷重や集中モーメント、部分荷重等ある位置でBMDが別の形になる場合） C　で右と左のBMDが別の式となる。そこで別に考え、境界条件で左右を結合する。 RA, RB は求められている。よって x y よって、たわみの方程式は

さらに、 x=a, y=b で zA=zB の条件と傾き角が等しい条件、 z’A=-z’B より、 基礎コース　　　材料力学の基礎　　　　　　　　 　 これらの２式をそれぞれ積分して x=0, y=0 でたわみゼロより　C2=C4=0 さらに、 x=a, y=b で　zA=zB　の条件と傾き角が等しい条件、 z’A=-z’B より、 ただし、向きの違いにより＋－逆にしている。 この連立方程式を解くと

最終的に、y=l-x と置き換え x で統一して説明する式とし、 基礎コース　　　材料力学の基礎　　　　　　　　 　 よって、たわみの曲線を表す式は 最終的に、y=l-x と置き換え　x で統一して説明する式とし、

左図に示したような集中モーメントがC点に作用する場合の 梁のたわみを求めよ。 基礎コース　　　材料力学の基礎　　　　　　　　 　 切断法の演習：集中モーメントの場合 左図に示したような集中モーメントがC点に作用する場合の 梁のたわみを求めよ。

垂直力とモーメントのつり合いより、BMDが求められ、 たわみの微分方程式が直接求められ、 たわみ分布が求められる。 不静定問題とは 基礎コース　　　材料力学の基礎　　　　　　　　 　 不静定はりのたわみ 静定問題とは、 　垂直力とモーメントのつり合いより、BMDが求められ、 たわみの微分方程式が直接求められ、 たわみ分布が求められる。 不静定問題とは 力とモーメントのつり合いだけでは決まらない外力があり、 それらを未知のまま問題を解き、 最後に傾き角などの、幾何条件（境界条件）を含めて、 決まってない定数を決めてやるという方法を取らざるを得ない問題のこと。

不静定はりのたわみの例１ 左の問題を解く。 力のつり合いより P=RA+RB モーメントのつり合いより MA=-Pa+RBl 基礎コース　　　材料力学の基礎　　　　　　　　 　 不静定はりのたわみの例１ 左の問題を解く。 力のつり合いより P=RA+RB モーメントのつり合いより 　　　 　　　　MA=-Pa+RBl 力とモーメントのつり合いからでは反力とモーメントが３個あり決められない。 よってこのまま変数として置いておいたまま、たわみの微分方程式を解く。 　　たわみ角、たわみ量が、求まったのち、Aでのたわみ角、たわみ量ゼロ Cでのたわみ量、たわみ角はともに分割した左右で同一、Bでのたわみ量ゼロという５条件を加わえ、積分定数４個と上記の反力とモーメントの合計７個を決定し、問題を解く。 　　変形条件を入れないと解けない問題を不静定問題という。 　説明ではわかりづらいので、この問題を解いてみる。

A点から x を、B点から y 座標を取りC点での切断法を考える。 梁の垂直方向つり合い 基礎コース　　　材料力学の基礎　　　　　　　　 　 A点から x を、B点から y 座標を取りC点での切断法を考える。 　梁の垂直方向つり合い 　梁のモーメントのつり合い（A点回り） よって、　RA, RB を MA で表すと、 C点より左のたわみの微分方程式は たわみは より

C点より右のたわみの微分方程式は、B点から y 軸を取り 基礎コース　　　材料力学の基礎　　　　　　　　 　 C点より右のたわみの微分方程式は、B点から y 軸を取り たわみは より 左右のはりそれぞれで、 x=a, y=b でたわみは等しいので （１） 29

基礎コース　　　材料力学の基礎　　　　　　　　 　 また、同様に より （２） （１）、（２）式を連立させると よってたわみは次の式で与えられる。

これらの２式を y を (l-x) で置き換え z を x 軸で統一して表現すると、 基礎コース　　　材料力学の基礎　　　　　　　　 　 これらの２式を y を (l-x) で置き換え z を x 軸で統一して表現すると、 という答えにたどり着く。

不静定はりのたわみの例２（重ね合わせの原理） 基礎コース　　　材料力学の基礎　　　　　　　　 　 不静定はりのたわみの例２（重ね合わせの原理） 材料力学の問題は応力とひずみ、荷重と変形の関係が比例します。 つまり線形問題で、二つの力が作用するとき影響を分離・重ね合わせできます。 左上図の梁のたわみは、した二つの計算の 合計である。 境界条件は二つのたわみの式の合計で与えられた式が x=0 で傾かず、かつたわまないと考えたものである。 （１）の条件のたわみは　スライド　２１　で （１） （２）

（２）に関しては梁全体が M0 の同一モーメント。よって 基礎コース　　　材料力学の基礎　　　　　　　　 　 （２）に関しては梁全体が M0 の同一モーメント。よって たわみの微分方程式は 境界条件は　x=0, l で　z=0 である。よって 重ね合わせのたわみは 重ね合わせたたわみの境界条件は（１）、（２）ともにたわみはすでにゼロであるが、　x=0 で　z’=0 が必要である。

たわみ曲線の形状の力を借りないと力やモーメントが決められない問題が 不静定問題である。 基礎コース　　　材料力学の基礎　　　　　　　　 　 よって、 これより 結果として、たわみ曲線は たわみ曲線の形状の力を借りないと力やモーメントが決められない問題が 不静定問題である。