構造力学　復習用資料 津田研究室　４年 村上香織

モーメント

力 物体に作用する力Fは加速度aおよび質量mに比例する．（ニュートンの第二法則より） 力はベクトル量 F=ma (単位：N=kgm/s2) 力はベクトル量 力の三要素：「大きさ」・「向き」・「作用点」

モーメント M=Pl モーメントとは任意の点の周りに回転させようとする力の働きのこと． (単位：Nm，kNm) 一般的に，時計回りを正，反時計回りを負とする． 手でナットを回す力Pとスパナの長さlの積PlがモーメントMである． スパナの端を持ったほうが楽 lが長いほうがモーメントが大きい

モーメント M=Pl モーメントとは任意の点の周りに回転させようとする力の働きのこと． (単位：Nm，kNm) 一般的に，時計回りを正，反時計回りを負とする． 手でナットを回す力Pとスパナの長さlの積PlがモーメントMである． スパナの端を持ったほうが楽 lが長いほうがモーメントが大きい

偶力 大きさが等しく平行で，方向が異なる二つの力のことを偶力という． 偶力は物体に作用して回転運動を起こす． ⇒偶力のモーメント 例：車のハンドル，水道の蛇口

偶力 大きさが等しく平行で，方向が異なる二つの力のことを偶力という． 偶力は物体に作用して回転運動を起こす． ⇒偶力のモーメント 例：車のハンドル，水道の蛇口

力の合成・分解

同一作用線上の力 同一線上の力であれば，力を移動することができる． 同一線上の力は，足し算，引き算ができる． P P'=P P1 P2 R= P1+ P2

2力の合成 1点に作用する2つの力は，この2力を2辺とする平行四辺形の対角線を用いて，合成することができる． 合成した力を合力という． 例：ゴムのぱちんこで玉を飛ばす

2力の合成 1点に作用する2つの力は，この2力を2辺とする平行四辺形の対角線を用いて，合成することができる． 合成した力を合力という． 例：ゴムのぱちんこで玉を飛ばす

力の分解 三角関数を用いることにより，1つの力を2方向の力に分解することができる． 分解したそれぞれの力を分力という． 例：二人でバケツをもつ

荷重

集中荷重 モーメント荷重 集中荷重とは，部材のある1点に集中して作用する荷重である． (単位：N，kN) P モーメント荷重 モーメント荷重とは，部材のある1点に回転力として作用する荷重である． 　　(単位はN･mm，kN･m) M

分布荷重 分布荷重は部材に分布して作用する荷重である． (単位：N/m，kN/m) w w 等分布荷重 三角分布荷重 w w 等変分布荷重 任意分布荷重

支点と反力

固定端 移動も回転も生じない点 反力数は3 鉛直と水平方向に移動しない 回転しない：モーメント反力あり

ピン支点(回転端，ヒンジ) 回転が自由な支点 反力数は2 鉛直と水平方向に移動しない 回転は自由：モーメント反力なし

ピン支点(回転端，ヒンジ) 回転が自由な支点 反力数は2 鉛直と水平方向に移動しない 回転は自由：モーメント反力なし

ローラー支点（移動端） 回転し地面と平行な方向の移動が可能な支点 反力数は1 鉛直方向には移動しない 水平方向と回転は自由：水平方向反力，モーメント反力なし

ローラー支点（移動端） 回転し地面と平行な方向の移動が可能な支点 反力数は1 鉛直方向には移動しない 水平方向と回転は自由：水平方向反力，モーメント反力なし

力の釣り合い

力の釣り合い 物体が静止してそのままの状態を保つとき，力は釣り合っている． X軸方向の力の総和が0 Y軸方向の力の総和が0 任意の点に対する力のモーメントの総和が0 SX=0 SY=0 SMA=0

節点

ピン節点(滑節点，ヒンジ) モーメントを伝達しない節点 ピン節点ではモーメントが0 部材は端部で回転し部材間の角度は変化する． 節点で伝達される力は，軸方向力とせん断力の2つである． 例：トラス構造

ピン節点(滑節点，ヒンジ) モーメントを伝達しない節点 ピン節点ではモーメントが0 部材は端部で回転し部材間の角度は変化する． 節点で伝達される力は，軸方向力とせん断力の2つである． 例：トラス構造

剛節点 モーメントを伝達する節点 部材端部は相互に剛につながっているため，節点が回転しても部材相互の角度は不変である． 節点で伝達される力は，軸方向力，せん断力，モーメントの3つである． 例：ラーメン構造

応力

応力 物体に外から外力を加えると，内部には応力(内力)が発生する 応力は，物体の切断面に生じる(断面力ともいう)

りんごの実験 枝に生っているりんごは地球からの重力Fを受けているが落ちないということについて考える ． N=-F F

りんごの実験 りんごのへたを切断してみるとりんごは落下する． N=-F F

りんごの実験 りんごのへたを切断してみるとりんごは落下する． N=-F F

りんごの実験 りんごのへたを切断する前に，切断個所の少し下を指で挟み，押さえた状態のまま切断する． N=-F F

りんごの実験 切断すると下方に引く力Nが指にかかるのを感じる． このとき，指で支えている限り，りんごが落ちることはない． N=-F F

りんごの実験 指でりんごを支えたまま，反対の手でりんごを下から支えてみる． 手がりんごに触れると，指に感じていた力は消滅する． N=0 N '=-F F

りんごの実験 支える手をはずすと指に再び力を感じる． N=-F F

りんごの実験 へたは，りんごに作用している重力に釣り合うだけの力でりんごを支えている. ⇒りんごは力が釣り合い状態 ⇒静止 手で支えたとき：下からりんごを支える. ⇒りんごに働いていた重力Fの効果を打ち消した. ⇒へたに生じていた力が消えた. 物体に外から力(ここでは重力)を加えた場合，それに“応じて”物体内部に生じる力を応力と呼ぶ．

サイコロの実験 サイコロを並べて両側から圧縮外力Pを加える． 5つのサイコロを一つの部材と考える． Pは釣り合っている外力 ⇒サイコロは静止

サイコロの実験 中央のサイコロに注目する． Pが左右のサイコロを伝わり，Pと同じ大きさの力P'が左右から働いている．

サイコロの実験 これらのサイコロを構造部材として考えると， P'は部材を切断した面に生じていることになる．

消しゴムの実験 消しゴムを右図のように左手で持ち，右手で押してみる． 消しゴムを建物，左手を地盤，右手を荷重(外力)と例えている．

消しゴムの実験 左手で消しゴムを持ち，右手で押すと，消しゴムは曲がり，左手に消しゴムを押し返そうとする力(反力)を感じる．

消しゴムの実験 次に，消しゴムを切断し元の形に重ねる．

消しゴムの実験 この消しゴムを右手で押すと，切断した部分から消しゴムは落ちてしまう． このとき，左手には力を感じないし，消しゴムは上部が転落し，下部には変形を生じない．

消しゴムの実験 消しゴムを切断する前：変形あり，反力あり 消しゴムを切断した後：変形なし，反力なし 消しゴムの切断面には，くっつき合うための力がある ⇒応力

応力の種類

軸方向力(N) 部材の材軸方向に引っ張ったり押したりする力 両側に引っ張られるときは引張応力，押されるときは圧縮応力という． 通常は，引張を正，圧縮を負とする． (単位はN，kN) 引張 ＋ 正 圧縮 ー 負

曲げモーメント(M) 部材に両側から作用して曲げようとする力 通常は，下側が引っ張られる状態に正(下に凸：＋)，上側が引っ張られる状態を負(上に凸：－)とする． (単位はN･mm，kN･m) 下に凸 ＋ 正 上に凸 ー 負

せん断力(Q) 部材の軸に直角方向に部材を断ち切ろうと作用する力 一組の反対向きの力からなる． 部材を時計方向に回転させるときに正(＋)，反時計回りのときに負(－)とする． (単位はN，kN) 時計回り ＋ 正 反時計回り ー 負

応力図(断面力図)

自由体(free body) 部材にかかる応力を求めるとき，部材の一部を切り出して自由体(free body)として考えるとよい． 釣り合いの式により，応力が算定できる ⇒応力が分かると，M，Q，N図が書ける．

自由体(free body) 自由体(free body)は，右図のように，荷重や支点，節点で区分される部分について切り出して考えればよい．

自由体(free body) 水平部材については，部材の左の面，右の面について下図の方向を正とする． 鉛直部材については，せん断力は時計方向に回転する方向，軸力は引張を正とする． ＋ ＋ ＋ 正 正 正

片持ち梁型 片持ち梁型は，自由端(固定端でない方)からの自由体を作るとよい． ⇒このようにすると，反力の計算が不要である． 右図の場合，A点から囲んだ部分を切り取って自由体を考える． P A

片持ち梁型 A点から自由体を仮定して断面力を求める． SXx=0：N=0 SYx=0：P-Q=0，Q=P l Q図 A点から自由体を仮定して断面力を求める． SXx=0：N=0 SYx=0：P-Q=0，Q=P SMx=0：M+Px=0，M=-Px (+) A M図 A P 変形図 Q M P N x A A x

単純梁型 単純梁型は，まず反力を求めて，自由体を作る． 外力のモーメントが働いていないピン支点，ローラー支点はモーメントが0(連続梁では0ではない：外力のモーメントが働くことと同じとなる)． 右図の場合，まず反力を求める．そのあと，A点から囲んだ部分と，B点から囲んだ部分を切り取って自由体を考える． P l/3 2l/3 A C B

単純梁型 P ① ① A点での反力をVA，B点の反力をVBとすると， SX=0：N=0 SY=0：VA ＋ VB =P SMA=0：Pl/3- VB l=0，VB =P/3， 　　　　　　　　　　　　　VA =2P/3 ② Aから囲んだ部分 SXx=0：N=0 SYx=0： 2P/3-Q=0，Q=2P/3 SMx=0： (2P/3)x-M=0，M=(2P/3)x ③ Bから囲んだ部分 SYx=0： P/3+Q=0，Q=-P/3 SMx=0： (P/3)x-M=0，M=(P/3)x A B C l/3 2l/3 VA VB M ② A x N Q 2P/3 x Q M ③ x B N P/3 x

単純梁型 応力図は右図のようになる． N図 A B C Q図 (-) A B (+) C 変形図 P M図 A B C A B C

変形の概略図の注意点 ①支点の変形に注意する a)固定端では，その点は動かず，かつ材長方向の回転角は0であること 　b)ピン支点では，その点は動かないが，回転はできること 　c)ローラー支点では，ローラーに垂直方向には動かず，水へ右方向および回転はできること ②材が連続する剛節点では，変形後も角度変化がないこと ③モーメント図との関係では，モーメント図は引張側に書かれており，変形図における曲がり方が分かる モーメントが大きい点は，大きく曲がり，モーメントが0の部分は直線．モーメントが一定の部分は円弧

ご清聴ありがとうございました． アンケートの協力，よろしくお願いします．