折り紙幾何学 ～折り紙で数学を楽しもう～ ２９０３ 木村 麻里
研究動機 小さい頃から折り紙を折ることが好きで去年たまたま折り紙について調べていたところ、「すごいぞ折り紙」という本を見つけ読んでみたところ、とても興味深かったので、取り組むことにした。
オリガミクス（origamics）と呼ばれる。 折り紙幾何学とは･･･ オリガミクス（origamics）と呼ばれる。 ↓ 折り紙（origami）＋学術・芸術を表す語尾（‐ics）
研究内容 １．折紙の三等分 ２．一つの正方形を面積の異なる二つの正方形にする ３．正三角形を作る ４．直角三角形（１：２：√３）をつくる ５．正五角形を作る ６．正方形の１/ｎの正方形を作る →この１～６を証明し、正しいかどうかを確かめる。
１．折紙の三等分（芳賀の定理） → → →
証明① △ＡＧＥについて三平方の定理を 使って表し、解いていくと X＝1/3aとなり AG：GB＝２：１・・・① △MNGと△MLEは 一辺両端角相当となるので △ MNG≡△MLE ∴辺MN＝辺ML・・・② ①②より ML：MN：GB＝１：１：１ よって辺ABは三等分されていることが分かる。
２．一つの正方形を面積の異なる二つの 正方形にする ２．一つの正方形を面積の異なる二つの 正方形にする → → → → → →
証明② △AY’B≡DX’A （一辺両端角相等より） ∴辺BX=辺AX’＝辺BY’ 辺X’D＝辺Y’A＝辺CD 角Y’BX＝角CDX’＝９０° よって一つの正方形から面積の異なる 正方形が二つできることがわかる。
３．正三角形（と内心）を作る → → → → → →
証明③ △KIJについて ∠AKE＝∠EKF＝∠IKL＝３０° (折り紙で折ったときに重なるため) ∠EKJ＝９０°(手順③より) よって∠GKJ＝６０°･･･① 辺KLは垂直なので ∠IKL＝∠JKL＝３０°、∠L＝９０° よって∠KIL＝∠KJL＝６０°･･･② ①②よりすべての角が６０°なので △KIJは正三角形である。 点M･･･辺DCの中点、 点J･･･辺MCの中点 点O･･･辺DJの中点、 辺EO、辺NM//辺BC） 点H･･･△KIJの内心、 ピンクの丸･･･３０° 青の丸・・・２０°
４．直角三角形（１：２：√３）を作る → → → → → → → → →
証明④ △EBFについて ∠EBF＝３０°(手順④より)･･･① ∠EFB＝６０°(手順③より)･･･② ∠FEB＝１８０°－３０°－６０° ＝９０°･･･③ よって①②③より △EBFは1：2：√3の直角三角形に なる。 ピンク丸･･･３０° 青丸･･･１５°
３．正方形の１/ｎの正方形を作る → → → → →
証明⑤ △ABE≡△BCF≡△CDG≡△DAA’ (一辺両端角相等より) △ABEの面積 ＝１×(ｎ―１/２ｎ)×１/２ ＝ｎ－１/４ｎ □EFGHの面積 ＝□ABCD－△ABF―△BCF―△CDG―△DAA’ ＝□ABCD―△ABF×４ ＝１－(ｎ－１/４ｎ)×４ ＝１/ｎ ∴□EFGH＝□ABCD×１/ｎとなる。
何の図形でしょうか？ → 結果は・・・？
正解は・・・ 正五角形！！
証明⑥ △GJHと△IJHについて ∠HGJ＝∠GHJ＝∠HIJ＝∠IHJ･･･① (手順⑦の図より) 辺JH＝辺JH･･･② 合同な二等辺三角形と分かる (△GBJは図を展開したとき、 △GJH、△IJHと合同な二等辺三角形になる。) ∴この五角形は、辺はすべて等しく、一角が１０８°となるので 正五角形であることが分かる。 ピンク丸･･･３６°緑丸･･･５４° 紫丸･･･９° 水色丸･･･４５°
折り紙工学 平面から作れるペットボトル 宇宙船の帆のコンパクト化 落下途中で絡まない パラシュートの畳み方 車に搭載されている パラシュートの畳み方 車に搭載されている エアバッグの畳み方 すばやく開ける地図 軽くて丈夫なビルの構造
感想 何回か折るだけで、様々な図形ができてこれこそが折り紙幾何学の面白さではないかと思った。 これはまだまだ初期段階なので、これからじっくりと取り組んでいきたいと思う。
参考文献 「すごいぞ折り紙～折り紙の発想で幾何を楽しむ～」 阿部恒 「絵をみてできる 数学実験」 磯田正美 原田耕平[編] 阿部恒 「絵をみてできる 数学実験」 磯田正美 原田耕平[編] http://blog.gijutsushi.net/?eid=630346 http://suugakunomori.mikawanomori.com/origami.html http://www.origami-club.com/123/index.html
Thank you for listening･･･