塩山幾何学を用いた ボロノイ図の解析 立命館高等学校 三村 知洋 宮崎 航輔 村田 航大 塩山幾何学を用いたボロノイ図の解析 三村　知洋 宮崎　航輔 村田　航大 これから塩山幾何学をもちいたボロノイ図の解析の発表をはじめます。 発表者は三村と宮崎と村田です。

■ 研究概要 ■ 平面上の任意の図形を切り抜いた板上に塩を振りか けるときにできる塩山の稜線 この稜線は平面幾何における様々な性質を表現 塩山幾何学を用いたボロノイ図の解析 ■　研究概要　 ■ 平面上の任意の図形を切り抜いた板上に塩を振りか けるときにできる塩山の稜線 この稜線は平面幾何における様々な性質を表現 塩山による幾何学を用いて、生物モデルのボロノイ図 に応用 ボロノイ図を塩山で再現できることがわかった まずはじめに塩山について説明します。 塩山とはある形に板を切り取ってその上に塩をかけるとどのような形になるかというものです。

■ 塩山を用いた幾何学とは？ ■ 「塩が教える幾何学」（黒田俊郎）によって提案 様々な図形、ボロノイ図に発展 塩山幾何学を用いたボロノイ図の解析 ■　塩山を用いた幾何学とは？　■ 「塩が教える幾何学」（黒田俊郎）によって提案 様々な図形、ボロノイ図に発展 ある形の板を作ってその上に塩をかけると、どのよう な形の山ができるか 私たちはこれを「塩山幾何学」と呼んでいる まずはじめに塩山について説明します。 塩山とはある形に板を切り取ってその上に塩をかけるとどのような形になるかというものです。

■ オリジナリティ ■ 様々な図形における性質を塩山で再現 穴を開けることでボロノイ図を再現 塩山幾何学を用いたボロノイ図の解析 ■　オリジナリティ　 ■ 様々な図形における性質を塩山で再現 穴を開けることでボロノイ図を再現 違う穴の半径を開けることで加法的ボロノイ図を再現 実験道具を工夫する事で時間的変化を伴う加法的ボ ロノイ図を再現 まずはじめに塩山について説明します。 塩山とはある形に板を切り取ってその上に塩をかけるとどのような形になるかというものです。

■ 塩山を用いた幾何学とは？ ■ 塩山幾何学を用いたボロノイ図の解析 動画をみてください。 ■　塩山を用いた幾何学とは？　■ 動画をみてください。 この研究では塩をかけることによってでてくるのが塩山です。 このように塩をある形、ここでは三角形にかけると稜線があらわれます。

■ ボロノイ図とは？ ■ 平面上に、いくつかの点が配置 塩山幾何学を用いたボロノイ図の解析 ■　ボロノイ図とは？　■ 平面上に、いくつかの点が配置 このとき最も距離の近い点がどこになるかによって分 割してできる図をボロノイ (Voronoi) 図 つぎにボロノイ図の説明です。 ボロノイ図とはこの図のようにいくつかの点が配置されており最も距離の近い点がどこになるかによって分割してできる図をボロノイ図といいます。

塩山幾何学を用いた 初等幾何の解析 （1） 塩山幾何学を用いたボロノイ図の解析 まずはじめに基礎的な段階として様々な多角形に塩をかけたときに出来る稜線を分析しました。

■ 三角形 ■ 角の二等分線 角の二等分線 塩山幾何学を用いたボロノイ図の解析 これが結果です。 ■　三角形　■ これが結果です。 三角形と同じように辺と辺の同距離の位置に角の二等分線がでてきました。 また四角形　五角形では角の二等分線以外にも稜線がでてきました。 角の二等分線 角の二等分線

■ 四角形 ■ 塩山幾何学を用いたボロノイ図の解析 これが結果です。 三角形と同じように辺と辺の同距離の位置に角の二等分線がでてきました。 ■　四角形　■ これが結果です。 三角形と同じように辺と辺の同距離の位置に角の二等分線がでてきました。 また四角形　五角形では角の二等分線以外にも稜線がでてきました。

■ 五角形 ■ 塩山幾何学を用いたボロノイ図の解析 これが結果です。 三角形と同じように辺と辺の同距離の位置に角の二等分線がでてきました。 ■　五角形　■ これが結果です。 三角形と同じように辺と辺の同距離の位置に角の二等分線がでてきました。 また四角形　五角形では角の二等分線以外にも稜線がでてきました。

■ 凹のある多角形 ■ 塩山幾何学を用いたボロノイ図の解析 これが結果です。 ■　凹のある多角形　■ これが結果です。 三角形と同じように辺と辺の同距離の位置に角の二等分線がでてきました。 また四角形　五角形では角の二等分線以外にも稜線がでてきました。

■ 凹のある多角形 ■ 焦点 準線 放物線 塩山幾何学を用いたボロノイ図の解析 これが結果です。 ■　凹のある多角形　■ 焦点 これが結果です。 三角形と同じように辺と辺の同距離の位置に角の二等分線がでてきました。 また四角形　五角形では角の二等分線以外にも稜線がでてきました。 準線 放物線

■ 凹のある多角形 ■ 焦点 準線 塩山幾何学を用いたボロノイ図の解析 これが結果です。 ■　凹のある多角形　■ 焦点 これが結果です。 三角形と同じように辺と辺の同距離の位置に角の二等分線がでてきました。 また四角形　五角形では角の二等分線以外にも稜線がでてきました。 準線

塩山幾何学を用いた 初等幾何の解析 （2） 塩山幾何学を用いたボロノイ図の解析 まずはじめに基礎的な段階として様々な多角形に塩をかけたときに出来る稜線を分析しました。

■ 半円 ■ 放物線 塩山幾何学を用いたボロノイ図の解析 これが結果です。 ■　半円　■ これが結果です。 三角形と同じように辺と辺の同距離の位置に角の二等分線がでてきました。 また四角形　五角形では角の二等分線以外にも稜線がでてきました。 放物線

■ 放物線 ■ 塩山幾何学を用いたボロノイ図の解析 これが結果です。 三角形と同じように辺と辺の同距離の位置に角の二等分線がでてきました。 ■　放物線　■ これが結果です。 三角形と同じように辺と辺の同距離の位置に角の二等分線がでてきました。 また四角形　五角形では角の二等分線以外にも稜線がでてきました。

■ 放物線 ■ GRAPES DATA 塩山幾何学を用いたボロノイ図の解析 これが結果です。 ■　放物線　■ これが結果です。 三角形と同じように辺と辺の同距離の位置に角の二等分線がでてきました。 また四角形　五角形では角の二等分線以外にも稜線がでてきました。 GRAPES DATA

■ 楕円 ■ 塩山幾何学を用いたボロノイ図の解析 これが結果です。 三角形と同じように辺と辺の同距離の位置に角の二等分線がでてきました。 ■　楕円　■ これが結果です。 三角形と同じように辺と辺の同距離の位置に角の二等分線がでてきました。 また四角形　五角形では角の二等分線以外にも稜線がでてきました。

塩山幾何学を用いた 初等幾何の解析 （3） 塩山幾何学を用いたボロノイ図の解析 まずはじめに基礎的な段階として様々な多角形に塩をかけたときに出来る稜線を分析しました。

■ 穴を1つ ■ 塩山幾何学を用いたボロノイ図の解析 これが結果です。 三角形と同じように辺と辺の同距離の位置に角の二等分線がでてきました。 ■　穴を1つ　■ これが結果です。 三角形と同じように辺と辺の同距離の位置に角の二等分線がでてきました。 また四角形　五角形では角の二等分線以外にも稜線がでてきました。

■ 同じ大きさの穴を2つ ■ 線分の垂直２等分線 塩山幾何学を用いたボロノイ図の解析 これが結果です。 ■　同じ大きさの穴を2つ　■ これが結果です。 三角形と同じように辺と辺の同距離の位置に角の二等分線がでてきました。 また四角形　五角形では角の二等分線以外にも稜線がでてきました。 線分の垂直２等分線

■ 円の真ん中に穴 ■ 円 塩山幾何学を用いたボロノイ図の解析 これが結果です。 ■　円の真ん中に穴　■ これが結果です。 三角形と同じように辺と辺の同距離の位置に角の二等分線がでてきました。 また四角形　五角形では角の二等分線以外にも稜線がでてきました。 円

■ 円の中心からずらす ■ CE＋BE ＝CE＋EA＋AB ＝CE＋ED＋AB ＝CD＋AB ＝（大きな円の半径） ＋（小さな円の半径） 塩山幾何学を用いたボロノイ図の解析 ■　円の中心からずらす　■ CE＋BE ＝CE＋EA＋AB ＝CE＋ED＋AB ＝CD＋AB ＝（大きな円の半径） 　　　　＋（小さな円の半径） ＝一定 焦点 焦点 これが結果です。 三角形と同じように辺と辺の同距離の位置に角の二等分線がでてきました。 また四角形　五角形では角の二等分線以外にも稜線がでてきました。 楕円

塩山のボロノイ図への応用 塩山幾何学を用いたボロノイ図の解析 まずはじめに基礎的な段階として様々な多角形に塩をかけたときに出来る稜線を分析しました。

■ フローチャート ■ L(i)=SQR((X-AX(i))^2 +(Y-AY(i))^2-r(i) 塩山幾何学を用いたボロノイ図の解析 ■　フローチャート　■ L(i)=SQR((X-AX(i))^2 +(Y-AY(i))^2-r(i) これが結果です。 三角形と同じように辺と辺の同距離の位置に角の二等分線がでてきました。 また四角形　五角形では角の二等分線以外にも稜線がでてきました。

■ 穴の半径を同じにした場合 ■ d i (x) = d (x, p(i)) d i (x) = d (x, p(i)) – R 塩山幾何学を用いたボロノイ図の解析 ■　穴の半径を同じにした場合　■ d i (x) = d (x, p(i)) x = (x, y)，p(i) = (ai, bi) d i (x) = 塩山での再現 これが結果です。 三角形と同じように辺と辺の同距離の位置に角の二等分線がでてきました。 また四角形　五角形では角の二等分線以外にも稜線がでてきました。 d i (x) = d (x, p(i)) – R

■ 穴の半径を同じにした場合 ■ GRAPHIC DATA 塩山幾何学を用いたボロノイ図の解析 これが結果です。 ■　穴の半径を同じにした場合　■ これが結果です。 三角形と同じように辺と辺の同距離の位置に角の二等分線がでてきました。 また四角形　五角形では角の二等分線以外にも稜線がでてきました。 GRAPHIC DATA

■ 加法的重み付きボロノイ図 ■ d i (x) = d (x, p(i)) – w(i) d (x, p(i)) – w(i) 塩山幾何学を用いたボロノイ図の解析 ■　加法的重み付きボロノイ図　■ d i (x) = d (x, p(i)) – w(i) d (x, p(i)) – w(i) = d (x, p(j)) – w(j) d (x, p(i)) – d (x, p(j)) = w(i) – w(j) = 一定 焦点 焦点 これが結果です。 三角形と同じように辺と辺の同距離の位置に角の二等分線がでてきました。 また四角形　五角形では角の二等分線以外にも稜線がでてきました。 双曲線

■ 加法的重み付きボロノイ図 ■ GRAPHIC DATA 塩山幾何学を用いたボロノイ図の解析 これが結果です。 ■　加法的重み付きボロノイ図　■ これが結果です。 三角形と同じように辺と辺の同距離の位置に角の二等分線がでてきました。 また四角形　五角形では角の二等分線以外にも稜線がでてきました。 GRAPHIC DATA

■ 距離的関数 ■ 塩山幾何学を用いたボロノイ図の解析 これが結果です。 ■　距離的関数　■ これが結果です。 三角形と同じように辺と辺の同距離の位置に角の二等分線がでてきました。 また四角形　五角形では角の二等分線以外にも稜線がでてきました。

■ 距離的関数 ■ d i (x)= d (x, p(i)) – w(i, t) y = axb （0 < b < 1） ？ 塩山幾何学を用いたボロノイ図の解析 ■　距離的関数　■ d i (x)= d (x, p(i)) – w(i, t) 距離的関数を伴う 加法的重み付きボロノイ図 y = axb （0 < b < 1） ？ これが結果です。 三角形と同じように辺と辺の同距離の位置に角の二等分線がでてきました。 また四角形　五角形では角の二等分線以外にも稜線がでてきました。

ボロノイ図の応用例 塩山幾何学を用いたボロノイ図の解析 まずはじめに基礎的な段階として様々な多角形に塩をかけたときに出来る稜線を分析しました。

■ 学区分けとボロノイ図 ■ 塩山幾何学を用いたボロノイ図の解析 これが結果です。 ■　学区分けとボロノイ図　■ これが結果です。 三角形と同じように辺と辺の同距離の位置に角の二等分線がでてきました。 また四角形　五角形では角の二等分線以外にも稜線がでてきました。

ユキノシタの表皮細胞（本校の顕微鏡で撮影） 塩山幾何学を用いたボロノイ図の解析 ■　細胞とボロノイ図　■ これが結果です。 三角形と同じように辺と辺の同距離の位置に角の二等分線がでてきました。 また四角形　五角形では角の二等分線以外にも稜線がでてきました。 ユキノシタの表皮細胞（本校の顕微鏡で撮影）

■ 分子の結晶構造 ■ 塩山幾何学を用いたボロノイ図の解析 これが結果です。 ■　分子の結晶構造　■ これが結果です。 三角形と同じように辺と辺の同距離の位置に角の二等分線がでてきました。 また四角形　五角形では角の二等分線以外にも稜線がでてきました。

本研究で得られた成果と課題 塩山幾何学を用いたボロノイ図の解析 まずはじめに基礎的な段階として様々な多角形に塩をかけたときに出来る稜線を分析しました。

■ これまでの成果 ■ 塩山の稜線のでき方は最短距離が等しい値のところに できる。 塩山幾何学を用いたボロノイ図の解析 ■　これまでの成果　■ 塩山の稜線のでき方は最短距離が等しい値のところに できる。 半径の大きさが等しい場合は、ボロノイ領域は直線で分 けられボロノイ図と一致する。 半径の大きさを変えてそれを重みに見立てると曲線の 稜線ができて、加法的重みつきボロノイ図と一致する。 数式的に解析した図形と実験で実際に出てきた稜線は ぴったりと一致した。 ボロノイ領域は生物や化学分野における、多くの現象を 再現することができる。 これが結果です。 三角形と同じように辺と辺の同距離の位置に角の二等分線がでてきました。 また四角形　五角形では角の二等分線以外にも稜線がでてきました。

■ これからの課題 ■ もっといろいろな形の図形でどうなるかを実験する。 重みつきボロノイ図の自然界への応用例を調べる。 塩山幾何学を用いたボロノイ図の解析 ■　これからの課題　■ もっといろいろな形の図形でどうなるかを実験する。 重みつきボロノイ図の自然界への応用例を調べる。 加法的重み付きボロノイ図はできたので、乗法的重 み付きボロノイ図も塩山で再現できないか。 距離的関数を伴う加法的重み付きボロノイ図の理 論的裏付け。 任意の稜線を決め、それに合わせたように半径を 自由に決定出来るようにする。 これが結果です。 三角形と同じように辺と辺の同距離の位置に角の二等分線がでてきました。 また四角形　五角形では角の二等分線以外にも稜線がでてきました。

■ 乗法的重みつきボロノイ図 ■ 加法的重み付きボロノイ図 乗法的重み付きボロノイ図 塩山幾何学を用いたボロノイ図の解析 これが結果です。 ■　乗法的重みつきボロノイ図　■ これが結果です。 三角形と同じように辺と辺の同距離の位置に角の二等分線がでてきました。 また四角形　五角形では角の二等分線以外にも稜線がでてきました。 加法的重み付きボロノイ図 乗法的重み付きボロノイ図

■ これからの課題 ■ もっといろいろな形の図形でどうなるかを実験する。 重みつきボロノイ図の自然界への応用例を調べる。 塩山幾何学を用いたボロノイ図の解析 ■　これからの課題　■ もっといろいろな形の図形でどうなるかを実験する。 重みつきボロノイ図の自然界への応用例を調べる。 加法的重み付きボロノイ図はできたので、乗法的重 み付きボロノイ図も塩山で再現できないか。 距離的関数を伴う加法的重み付きボロノイ図の理 論的裏付け。 任意の稜線を決め、それに合わせたように半径を 自由に決定出来るようにする。 これが結果です。 三角形と同じように辺と辺の同距離の位置に角の二等分線がでてきました。 また四角形　五角形では角の二等分線以外にも稜線がでてきました。

■ 参考文献・HP ■ 「塩が教える幾何学」 黒田俊郎 （2000年11月25日） 塩山幾何学を用いたボロノイ図の解析 ■　参考文献・HP　■ 「塩が教える幾何学」　　黒田俊郎　（2000年11月25日） 「折り紙で学ぶなわばりの幾何学」　　加藤渾一 http://izumi-math.jp/K_Katou/nawabari/nawabari.htm 「数学のいずみ」 数学のいずみ編集委員会　（2001年4月25日） (仮称)十進BASICのホームページ　　白石和夫 http://hp.vector.co.jp/authors/VA008683/ 「関数グラフソフト GRAPES」　　友田勝久 http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/ これが結果です。 三角形と同じように辺と辺の同距離の位置に角の二等分線がでてきました。 また四角形　五角形では角の二等分線以外にも稜線がでてきました。

Thank you for listening !