二分木説明 点Cの座標を求めよ。

二分木とは 任意の2点A，Bが与えられて 線分BC，BDに対しても同様の2点を確定していく。 これを繰り返すとき，できる図形を二分木という。 rAB θ B θ D A 任意の2点A，Bが与えられて 線分BC，BDに対しても同様の2点を確定していく。 これを繰り返すとき，できる図形を二分木という。 線分ABの延長方向に角θ，－θほど分かれた方向に ABのｒ倍の長さの線分を引きその先端をC,Dとする。 任意の角θ　と任意の比率ｒが与えられると

（１）B(0,0) BC=r x軸とBCのなす角θ r x y C r r sinθ θ y r cosθ sinθ＝－ r x C( r cosθ , r sinθ )

（２） A(0,0), B(1,0) AB=1 , BC=r , x軸とBCのなす角θ r sinθ r cosθ C( r cosθ , r sinθ )

（２） A(0,0), B(1,0) AB=1 , BC=r , x軸とBCのなす角θ r sinθ θ 1 A B r cosθ C( 1 + r cosθ , r sinθ )

(３)点P(x,y)を原点Oの周りに αほど回転した点C OPがｘ軸となす角をβ とすると C O x y P β y P α β x O C( OP cos(α＋β) , OP sin(α＋β) ) C( OC cos(α＋β) , OC sin(α＋β) )

(３)点P(x,y)を原点Oの周りに αほど回転した点C C(OP cos(α＋β) , OP sin(α＋β) ) OPcos(α+β)= cosαcosβ- OPsinαsinβ OPcos(α+β)=OPcosαcosβ- OPsinαsinβ OPcos(α+β)=cosαOPcosβ- sinαOPsinβ y x ここで sinβ= cosβ= OP OP を代入すると OPcos(α+β)= cosα x - sinα y OPcos(α+β)= x cosα - y sinα

(３)点P(x,y)を原点Oの周りに αほど回転した点C C(OP cos(α＋β) , OP sin(α＋β) ) OPsin(α+β)= sinαcosβ+ OPcosαsinβ OPsin(α+β)=OPsinαcosβ+ OPcosαsinβ OPsin(α+β)=sinαOPcosβ+ cosαOPsinβ y x ここで sinβ= cosβ= OP OP を代入すると OPsin(α+β)=sinα x + cosα y OPsin(α+β)= x sinα + y cosα

(３)点P(x,y)を原点Oの周りに αほど回転した点C β x y C(OP cos(α＋β) , OP sin(α＋β) ) C( x cosα- y sinα , x sinα+ y cosα )

(３例題)点P(３,１)を原点Oの周りに ３０°ほど回転した点Cを求めよ 30° ３ １ C( x cosα- y sinα , x sinα+ y cosα ) C( 　　　　　　　 , 　　　　　　　　) ２ ３√３－１ ３＋√３

（２） A(0,0), B(1,0) AB=1 , BC=r , x軸とBCのなす角θ r sinθ r cosθ A 1 C( 1 + r cosθ , r sinθ )

（４） A(0,0), AB=1 , BC=r , x軸とABのなす角α，BCのなす角θ r sinθ r cosθ A 1 α P( 1 + r cosθ , r sinθ )をαほど回転した点 P( 1 + r cosθ , r sinθ )を（３）に代入した点

（４） A(0,0), AB=1 , BC=r , x軸とABのなす角α，ABとBCのなす角θ (2) P( x , y )= P( 1 + r cosθ , r sinθ ) を （３）C( x cosα- y sinα , x sinα+ y cosα ) に代入する 　ｘ＝ 1 + r cosθ 　　　ｙ＝ r sinθ C((1 + r cosθ ) cosα- r sinθ sinα , 　　　　 (1 + r cosθ )sinα+ r sinθ cosα )

（５） と（４）の関係 C ky C y k 1 x kx C( x , y ) C( kx , ky ) C ky+y0 k y0 x0 ｋ倍に拡大 x A A kx C( x , y ) C( kx , ky ) C ky+y0 k 平行移動 y0 A x0 kx+x0 C( kx+x0 , ky+y0 )

(4) y1－y0 sinα= AB x1－x0 cosα= rAB AB (5) y1 15 y0 x0 x1

（４） A(0,0), AB=1 , BC=r , x軸とABのなす角α，ABとBCのなす角θ C((1 + r cosθ ) cosα- r sinθ sinα , 　　　　 (1 + r cosθ )sinα+ r sinθ cosα ) （5） A(x0,y0), B(x1,y1) , BC=rAB , ABとBCのなす角θ (4)の答をAB倍してからx軸方向にx0，y軸方向にy0ほど平行移動すればよい。 C(AB{ (1 + r cosθ ) cosα- r sinθ sinα}+ x0, AB { (1 + r cosθ )sinα+ r sinθ cosα}+ y0 )

（４） A(0,0), AB=1 , BC=r , x軸とABのなす角α，ABとBCのなす角θ C((1 + r cosθ ) cosα- r sinθ sinα , 　　　　 (1 + r cosθ )sinα+ r sinθ cosα ) （5） A(x0,y0), B(x1,y1) , BC=rAB , ABとBCのなす角θ (4)の答をAB倍してからx軸方向にx0，y軸方向にy0ほど平行移動すればよい。 C(AB{ (1 + r cosθ ) cosα- r sinθ sinα}+ x0, AB { (1 + r cosθ )sinα+ r sinθ cosα}+ y0 )

（5） A(x0,y0), B(x1,y1) , BC=rAB , ABとBCのなす角θ C(AB{ (1 + r cosθ ) cosα- r sinθ sinα}+ x0, AB { (1 + r cosθ )sinα+ r sinθ cosα}+ y0 )

（5） A(x0,y0), B(x1,y1) , BC=rAB , ABとBCのなす角θ C(AB{ (1 + r cosθ ) cosα- r sinθ sinα}+ x0, AB { (1 + r cosθ )sinα+ r sinθ cosα}+ y0 ) C( (1 + r cosθ ) AB cosα- r sinθ ABsinα+ x0, (1 + r cosθ ) ABsinα+ r sinθ ABcosα+ y0 ) y1－y0 x1－x0 sinα= cosα= AB AB 19 C( (1 + r cosθ )(x1－x0) - r sinθ(y1－y0) + x0, (1 + r cosθ )(y1－y0)+ r sinθ(x1－x0)+ y0 )

（5） A(x0,y0), B(x1,y1) , BC=rAB , ABとBCのなす角θ C(AB{ (1 + r cosθ ) cosα- r sinθ sinα}+ x0, AB { (1 + r cosθ )sinα+ r sinθ cosα}+ y0 ) C( (1 + r cosθ ) AB cosα- r sinθ ABsinα+ x0, (1 + r cosθ ) ABsinα+ r sinθ ABcosα+ y0 ) y1－y0 x1－x0 sinα= cosα= AB AB 20 C( (1 + r cosθ )(x1－x0) - r sinθ(y1－y0) + x0, (1 + r cosθ )(y1－y0)+ r sinθ(x1－x0)+ y0 )

（５） A(x0,y0), B(x1,y1) , BC=rAB , ABとBCのなす角θ C( (1 + r cosθ )(x1－x0) - r sinθ(y1－y0) + x0, (1 + r cosθ )(y1－y0)+ r sinθ(x1－x0)+ y0 ) C((x1－x0)(1 + r cosθ ) - (y1－y0)r sinθ + x0, (y1－y0) (1 + r cosθ ) + (x1－x0) r sinθ+ y0 ) 21

（５） A(x0,y0), B(x1,y1) , BC=rAB , ABとBCのなす角θ C((x1－x0)(1 + r cosθ ) - (y1－y0)r sinθ + x0, (y1－y0) (1 + r cosθ ) + (x1－x0) r sinθ+ y0 ) rAB y1 22 y0 x0 x1

（５） A(x0,y0), B(x1,y1) , BC=rAB , ABとBCのなす角θ C( (1 + r cosθ )(x1－x0) - r sinθ(y1－y0) + x0, (1 + r cosθ )(y1－y0)+ r sinθ(x1－x0)+ y0 ) C((x1－x0)(1 + r cosθ ) - (y1－y0)r sinθ + x0, (y1－y0) (1 + r cosθ ) + (x1－x0) r sinθ+ y0 ) rAB y1 23 y0 x0 x1

（問） A(x0,y0), B(x1,y1) , BC=BD=rAB , ABとBC，BDのなす角θ C((x1－x0)(1 + r cosθ ) - (y1－y0)r sinθ + x0, (y1－y0) (1 + r cosθ ) + (x1－x0) r sinθ+ y0 ) D((x1－x0)(1 + r cos(-θ) ) - (y1－y0)r sin(-θ) + x0, (y1－y0) (1 + r cos(-θ) ) + (x1－x0) r sin(-θ)+ y0 ) D((x1－x0)(1 + r cosθ ) + (y1－y0)r sinθ + x0, (y1－y0) (1 + r cosθ ) - (x1－x0) r sinθ+ y0 ) cos(-θ) = cos θ y1 sin(-θ) = -sin θ y0 x0 x1