4面体(正3角錐)の重心 〜重心を透視できる4面体づくり〜
4面体断面見取り図づくり
4面体の断面4面体を作る 右上図は、4面体ABCD 右下図は、4面体ABCDをABMで切断し、 4面体ABCMと4面体ABDMの二つに 2等分したもの
3垂線は一点で交わる
三角形の重心は中線を2:1に内分する点 左上 △BCDの重心Hは、 BH:HM=2:1 の点。 ・左下 4面体の一面△の重心
切断面で考える
切断面に補助線を引く
補助線を引いて推論する △ABMにおいて AG2=BG1 より AB // G2G1 よって △ABM ∽ △G2G1M したがって AM: G2M=3:1= AB: G2G1 (中点連結定理の拡張により) さらに、△ABG ∽ △G2G1Gにより AG:GG1 =3:1 以降、 辺の長さを用いて計算して4面 体の重心が垂線を3:1に内分する点であることを検証することになる。
三角錐の重心が3:1であることを計算で証明する 一辺を√2aとすると、BMは直角三角形BCMより、BM2+CM2=BC2 BM2=BC2- CM2 <*>△BCDにおいてBG1:G1M=2:1より =(√2a) 2-(√2a/2) 2 BG1=2BM/3=(2/3)(√6a/2 )= √6a/3 =3a2/2 (=AG2) BM=√3a/√2= √6a/2 (=AM) G1M=BM/3=(1/3)(√6a/2 )= √6a/6 <*へ続く> 垂線AG1=BG2は、 <**> AB:G2G1=3:1=AG:GG1により AG12=AM2-G1M2 AG = (3/4)AG1=3/4×2a/√3=√3a/2 = (√6a/2 )2-(√6a/6)2 GG1=(1/4) AG1= 1/4×2a/√3=√3a/6 =4a2/3 よって AG1=2a/√3 (AG/GG1) = (√3/2) a/(√3/6) a <**へ続く> = √3/2×6/√3=3/1