ベクトル関数の回転（カール、ローティション） １周すると元に戻る経路（閉じた経路）を曲線Ｃとする。 微少区間の接ベクトルをdSとする。（微少区間の長さを大きさとして、折線方向のベクトル。） ベクトル場Ｆは、その微少区間と交わる軌跡の力線である。 力線Ｆと接ベクトルｄｓと内積をとる。 流線 Ｆ d s Ｃ 経路Ｃに沿って一周積分する。これをΓ（ガンマ） と定義する。 曲線Ｃが1つの輪とすればΓがゼロならば回転しない。ゼロでなければ回転する。 Ｃに新しくＢで橋をかける。ＣはＣ1とＣ2に分かれる。 Ｂ 橋が架かっている部分はＣ１とＣ２では大きさが同じで 向きが反対なので相殺されゼロとなってしまう。 Ｃ1 更に分割を進める。 Ｃ2 分割を進めるとループも小さくなるが面積ai も小さくなる。aiで割った値の極限が収束する。 ai
ｚ ayz axy ayz azx a ｙ azx axy ｘ ｎ Ci ｎ ＝ + Ci はスカラー量となる ここで天下り式に ai 面積aは3次元空間に存在する。xy,yz,zx平面 への写像をaxy,ayz,azx とする。 ayz y a axy azx ayz z y x a ＝ + x azx Ci ｙ のベクトルの和としてあらわせる。 axy ｘ
ｙ ｘ （ｘ+Δｘ、ｙ＋Δｙ／２） ｙ+Δｙ ｙ ｘ ｘ+Δx （ｘ+Δｘ/2、ｙ＋Δｙ） （ｘ、ｙ+Δｙ） （ｘ+Δｘ、ｙ＋Δｙ） -Ａx(x+Δx/2,y+Δy) （ｘ、ｙ＋Δｙ／２） （ｘ+Δｘ、ｙ＋Δｙ／２） Ａy(x,y) Ａx(x+Δx/2,y) ｙ （ｘ+Δｘ､ｙ） (ｘ､ｙ) Ａx(x,y) （ｘ+Δｘ/2、ｙ） ｘ ｘ ｘ+Δx （ｘ、ｙ）におけるベクトルを Ａｘ（ｘ、ｙ）とする。 中点における値がこの経路の平均値と考える。 四角形の右側面の中点におけるベクトルの値は 微少区間を考えているので Ａｘはほぼ直線的に変化すると考える。 ④ （変化率）×（差分） 四角形の左側面の中点におけるベクトルの値は ⑤ 中点における値がこの経路の平均値と考える。 四角形の底辺の中点におけるベクトルの値は 循環を考えると④－⑤となる。 ① 同様にΔyを掛ける 四角形の頂辺の中点におけるベクトルの値は ⑦ ② ③、⑦より一周積分は 四角形の廻りの循環を考えているので①－②より 平均値の差であるから経路Δｘを掛ける。 ⑧ ③ (x､y)平面上の四角形全周に渡って積分したので ⑨
axyは限りなくゼロに近づけるので ｚ は(x,y)平面の四角形の微少面積となり法線ベクトルは単位ベクトル となる。 両辺を で割る ⑩ 両辺を で割る axyは限りなくゼロに近づけるので ⑩ 同様にして(y,z)平面、(z,x)平面について解く。 ⑪ ⑫ ３次元空間の平面に関してはそれぞれの成分を重ね合わせれば良い。 ⑬ ⑭ ⑮ ⑯ と定義すれば は∇とAとの外積であらわされる。 ベクトルの外積 ベクトル 、 が作る平行四辺形の面積を大きさとするそれらとは 垂直な方向を持つベクトル。 × ＝ 平面成分を線成分に変換する
ストークスの定理 もっとも大きいループ Cの 1周積分は d s Ｃ ところが なので これを式変形して