数学的な考え方を伸ばす学習指導について ～図形領域におけるコンピュータの活用を通して～ 【資料P. 1の 1～ 7行目】 数学的な考え方を伸ばす学習指導について ～図形領域におけるコンピュータの活用を通して～ 平成17年度移動教育センター（宮古）共同研究発表会（中学校数学） 宮古島市立北中学校　　　教諭　山口勇一 宮古島市立狩俣中学校　　教諭　比嘉孝徳 宮古島市立佐良浜中学校　教諭　仲間智 県立総合教育センター指導主事　喜屋武元一 平成17年度移動教育センター(宮古)共同研究(中学校数学科部会)から、研究発表をさせていただきます。 本研究は、私、北中学校山口と、狩俣中学校の比嘉、佐良浜中学校の仲間、計３名の共同研究員で、喜屋武指導主事の御指導のもとで進めてまいりました。 今回の発表形式は，受付でお配りしました研究報告書に沿って行いますが，報告書の要点をわかりやすくスクリーンで提示しながら，ご説明させていただきます。 したがいまして，スクリーンを見ながら，発表をお聞きいただき，聞いている中で，気になる点や，不十分な点がある場合に，右上部に表示したページ数に照らし合わせて，報告書も合わせてご覧いただきますと，私どもの発表が聞きやすくなるかと思います。 よろしくお願い致します。 【クリック→アニメーションによってテーマが現れます】 さて早速、本研究のテーマですが、スクリーンをごらんになってください。 テーマは「数学的な考え方を伸ばす学習指導について」、サブテーマを「図形領域におけるコンピュータの活用を通して」と設定いたしました。 （少し間をおいて・・・） 【クリック→次のスライドへ】

平成17年度移動教育センター（宮古）共同研究発表会（中学校数学） 【資料目次をご覧下さい】 目次 テーマ設定理由および研究仮説 授業実践 成果と課題 本研究の発表は、このような流れで発表させて頂きます。 【クリック】それではまずはじめに、「テーマ設定理由」について説明させていただきます。 【クリック　→次のスライドへ】 平成17年度移動教育センター（宮古）共同研究発表会（中学校数学）

平成17年度移動教育センター（宮古）共同研究発表会（中学校数学） 【資料P. 1の 9～14行目】 テーマ設定理由その１ 国　e-Japan戦略 　　→　県　沖縄e-island宣言 　　　　　　　→　各学校　情報教育の充実 コンピュータを使った 授業実践が各教科で必要 テーマ設定理由その１ 【クリック　→　国e-Japan戦略】平成13年にe-Japan戦略が発表されたのを受け、 【クリック　→　県　沖縄e-island宣言】沖縄県においても「沖縄e-island宣言」が発表されました。 この宣言の中で、 【クリック　→　】 各学校においても情報教育を充実していくことが，うたわれております。 したがって 【クリック】各教科においてもコンピュータを使った授業実践が必要であると考えました。 【クリック　→次のスライドへ】 平成17年度移動教育センター（宮古）共同研究発表会（中学校数学）

平成17年度移動教育センター（宮古）共同研究発表会（中学校数学） 【資料P. 1の15～25行目】 テーマ設定理由その２ 現行の学習指導要領から追記されている３点。 「数学的活動の楽しさ」 「観察，操作や実験を通して」 「情報通信ネットワークなどを活用」 この①②③を満たす 授業形態を考えた また、現行の学習指導要領では、 【クリック】①数学的活動の楽しさ 【クリック】 ②観察，操作や実験を通して 【クリック】 ③情報通信ネットワークなどを活用 以上３点が追記されている。 そこで 【クリック】この①②③を満たす授業形態を考えました。 【クリック　→次のスライドへ】 平成17年度移動教育センター（宮古）共同研究発表会（中学校数学）

平成17年度移動教育センター（宮古）共同研究発表会（中学校数学） 【資料P. 1の26～29行目】 ①②③を満たす授業形態 ネットワークを活用したドリル学習 シミュレーションによる視覚的な把握による観察 コンピュータを活用した多数回の操作や実験活動 この①②③を満たすような授業形態は、 【クリック】ネットワークを活用したドリル学習や 【クリック】シミュレーションによる視覚的な把握による観察や 【クリック】コンピュータを活用した多数回の操作や実験活動　　などが考えられる。 【クリック　→次のスライドへ】 平成17年度移動教育センター（宮古）共同研究発表会（中学校数学）

平成17年度移動教育センター（宮古）共同研究発表会（中学校数学） 【資料P. 1の30～35行目】 Web教材の開発 特に本研究では，図形領域において いつでもどこでも，楽しく意欲的に 多数回の操作活動ができ 思考の支援となり 課題解決への見通しがもてる教材を開発し，活用することによって 数学的な考え方を伸ばすことができる と考え 本テーマを設定した 特に本研究では，図形領域において 【クリック】いつでもどこでも，楽しく意欲的に 【クリック】多数回の操作活動ができ 【クリック】思考の支援となり 【クリック】課題解決への見通しがもてる教材を開発し，活用することによって 【クリック　→次のスライドへ】 平成17年度移動教育センター（宮古）共同研究発表会（中学校数学）

平成17年度移動教育センター（宮古）共同研究発表会（中学校数学） 【資料P. 1の36～38行目】 研究仮説 数学的活動でコンピュータを活用した教材を 取り入れることによって， 生徒が知的好奇心・探求心をもち， 意欲的かつ主体的に学ぶ態度が育ち， 数学的な考え方を伸ばすことができるであろう。 ここまで説明したテーマ設定の理由をうけまして、 研究仮説を次のように設定致しました。 【クリック】数学的活動でコンピュータを活用した教材を取り入れることによって， 【クリック】生徒が知的好奇心・探求心をもち，意欲的かつ主体的に学ぶ態度が育ち，数学的な考え方を伸ばすことができるであろう。 【クリック　→次のスライドへ】 平成17年度移動教育センター（宮古）共同研究発表会（中学校数学）

平成17年度移動教育センター（宮古）共同研究発表会（中学校数学） 【資料P. 5の 1～ 7行目】 目次 テーマ設定理由および研究仮説 授業実践 成果と課題 目次に戻りまして 【クリック】次に、授業実践について説明いたします。 【クリック　→次のスライドへ】 平成17年度移動教育センター（宮古）共同研究発表会（中学校数学）

平成17年度移動教育センター（宮古）共同研究発表会（中学校数学） 【資料P. 5～ 7】 検証授業実践 【日時】11月22日5校時　＋2時間 【場所】宮古島市立北中学校コンピュータ室　＋教室 【対象】2年1，2組ダイヤコース(習熟度最上位コース) 【単元】三角形と四角形 操作活動　と　論証をたて分けて理解する必要がある 前単元の習熟度が大きく影響する より多様な考え方を引き出せる 生徒が初めて「論証」を学習する単元 つまずく生徒が多い単元 数学的に見たり考えたりする力を高めることができる単元 検証授業の実践は 【クリック】日時　 11月22日5校時　とプラス　2時間 【クリック】場所　宮古島市立北中学校コンピュータ室　とプラス教室 【クリック】対象　 2年1，2組 (習熟度最上位コース) 【クリック】単元　三角形と四角形。この単元で検証した理由は 【クリック】生徒が初めて「論証」を学習する単元／つまずく生徒が多い単元 数学的に見たり考えたりする力を高めることができる単元であるから、 本テーマを検証する単元として、適当であると考えたからです。 次に、対象を習熟度最上位コースの生徒にした理由は 【クリック】本単元が、操作活動　と　論証をたて分けて理解する必要があり、前単元の習熟度が検証に大きく影響するほか、より多様な考え方を引き出すためには、本テーマを検証する対象として、習熟度最上位コースの生徒が適当であると考えたからです。 日時と場所に関しては 【クリック】操作活動の時間として、黄色い部分の11月22日5校時を北中学校コンピュータ室で検証し、 【クリック】論証・証明の時間として、青い部分の、22日の後の2時間を教室で検証しました。 【クリック　→次のスライドへ】 平成17年度移動教育センター（宮古）共同研究発表会（中学校数学）

平成17年度移動教育センター（宮古）共同研究発表会（中学校数学） 【資料P. 9～12】 検証授業その１ 主題　「平行四辺形を作って，性質を調べる」 平行四辺形の 定義を確認 Web教材を使って 平行四辺形を作る 性質を発見する 教師の 補説 平行四辺形 性質クイズ それでは、コンピュータ室で実施した検証授業その１について説明致します。 主題は「平行四辺形を作って、性質を調べる」です。 【クリック】導入で、平行四辺形の定義を確認し、次に 【クリック】自作のWeb教材を使って、平行四辺形を作り、平行四辺形の性質を発見させました。 【ここで、（平行四辺形を作るフローチャート）をクリックして、Web教材を立ち上げる】 ※自作のWeb教材の「操作」「解説」を交互に丁寧に進めていく。性質を発見するまで 【発見後PPにもどって　クリック】次に発見した性質を理解できているのか、性質クイズを行いました。 【ここで、（性質クイズのフローチャート）をクリックして、Web教材を立ち上げる】 ※クイズをやって、ランキング登録まで確認するまで ランキング機能を活用することで、生徒自身から「より正しくより早く答えられるようになりたい」という意欲の向上をねらっています。 【PPにもどって、クリック】クイズで正答率の低い生徒へ補説を行い、 【クリック】このあと、ワークシートで平行四辺形の性質を確認し、 【クリック】最後に、また別の自作Web教材でアンケート入力と、感想入力を行い、検証授業その１を終了しました。 【クリック　→次のスライドへ】 平行四辺形の性質を ワークシートで確認 Web教材で アンケート入力 感想入力 平成17年度移動教育センター（宮古）共同研究発表会（中学校数学）

平成17年度移動教育センター（宮古）共同研究発表会（中学校数学） 【資料P.13】 検証授業その１結果と感想 検証授業最後に行ったアンケート結果と感想 めっちゃやばいかなりとてもちょー感動した パソコンを使った授業はめっちゃわかりやすかった 知らないことが沢山知れた 数学クイズ教室がたのしかった。毎時間ではなくてたまにこのサイトで授業をやってほしい。それからもっとたくさんの問題をのせてほしい。基礎から応用までいっぱいのせてほしい。 図形の性質の授業で，パソコンを使って、とっても分かりやすかったし，楽しかったので，また，パソコンを使った授業をやりたいと、思いました。結構楽しくて数学の勉強が楽しくなった 点とか辺が動かせておもしろかった。定理が発見できて，よかった。 平行四辺形の性質をちゃんと見つけられたし，パソコンでクイズもやって楽しかったです。これからもいろんな性質について考えようと思いました。 パソコンでやる授業は普通の授業より楽しかった。 アンケート結果は、円グラフのようになっています。 【クリック】生徒の感想には 【クリック】パソコンを使って、とってもわかりやすかったし、楽しかった 【クリック】点とか辺が動かせておもしろかった。定理が発見できて、よかった。 【クリック】これからもいろんな性質について考えよう。などと入力されていました。 【クリック　→次のスライドへ】 平成17年度移動教育センター（宮古）共同研究発表会（中学校数学）

平成17年度移動教育センター（宮古）共同研究発表会（中学校数学） 【資料P.13】 検証授業その１　考察 自作のWeb教材を使うことによって 1.図形の性質を発見する活動がわかりやすい。 2.帰納的な物事の考え方をスムーズに学べた。 3.予想したり，発見したりする活動を行えている。 4.生徒の意欲を高めている。 5.論証(証明)の学習への良いステップとなっている。 と考え，検証授業その２，その３では，証明問題をじっくり考え，「多様な考え方が引き出せないか」検証していくこととした。 これらのことから考察すると、自作のWeb教材を使うことによって 【クリック】図形の性質を発見する活動が分かりやすい。 【クリック】帰納的な物事の考え方をスムーズに学べた。 【クリック】予想したり、発見したりする活動を行えている。 【クリック】生徒の意欲を高めている。 【クリック】論証の学習への良いステップとなっている 【クリック】と考え、検証授業その２、その３では、証明問題をじっくり考え、「多様な考え方が引き出せないか」検証していくこととした。 【クリック　→次のスライドへ】 平成17年度移動教育センター（宮古）共同研究発表会（中学校数学）

平成17年度移動教育センター（宮古）共同研究発表会（中学校数学） 【資料P.14～15】 検証授業その２　パターン１ ソフトで，動的な図形を見ながら円周角の定理を発見し、証明する 検証授業その2では、ソフトを使い、動的な図形を見ながら円周角の定理を発見し、証明したところ、2つのパターンの考え方を生徒から引き出すことができました。 これは、パターン1つ目の考え方で証明された生徒の作品です。 【クリック】まず△BOCに注目し 【クリック】半径OB＝OCから、∠OBC＝∠OCB 【クリック】三角形の内角と外角の関係から、∠BODが赤四角２個分であることがわかります。 【クリック】△AOCについても同様にして、証明を進めています。 【クリック　→次のスライドへ】 平成17年度移動教育センター（宮古）共同研究発表会（中学校数学）

平成17年度移動教育センター（宮古）共同研究発表会（中学校数学） 【資料P.14～15】 検証授業その２　パターン２ ソフトで，動的な図形を見ながら円周角の定理を発見し、証明する それに対し、パターン２では、 【クリック】点Oを通り、辺BCに平行な直線を引き、 【クリック】錯角が等しい 【クリック】同位角が等しい 【クリック】次に、点Oを通り、辺ACに平行な直線を引き、 という流れで証明を進めています。 【クリック　→次のスライドへ】 ∠CBO＝∠BOD　（平行線の錯角） ∠CAO＝∠AOE　（平行線の錯角） ∠OCB＝∠FOD　（平行線の同位角） ∠OCA＝∠FOE　（平行線の同位角） 平成17年度移動教育センター（宮古）共同研究発表会（中学校数学）

平成17年度移動教育センター（宮古）共同研究発表会（中学校数学） 検証授業その２　感想 検証授業その２のアンケート結果は、このようになっています。 【クリック】生徒の感想には、「自分で言葉を考えて、証明するのはむずかしい」 【クリック】証明をして性質を発見するのはカンペキ　などと記入されていました。 【クリック　→次のスライドへ】 平成17年度移動教育センター（宮古）共同研究発表会（中学校数学）

平成17年度移動教育センター（宮古）共同研究発表会（中学校数学） 【資料P.14～15】 検証授業その２の考察 図形に○や×をつけたり，色分けするなどして，生徒自ら動的な図形のイメージを整理し，自由な発想で証明することができている。 コンピュータで性質を確認するだけでは，完璧な性質とは言えず，証明することによって，完璧な性質と言えることを理解できている。 コンピュータを使ってイメージしたあとなので，自分で考えて記述することが難しくても，「なんとか証明してみたい」という意欲の高まりがうかがえる。 これらのことから考察すると、 【クリック】図形に○や×をつけたり，色分けするなどして，生徒自ら動的な図形のイメージを整理し，自由な発想で証明することができている。 【クリック】コンピュータで性質を確認するだけでは，完璧な性質とは言えず，証明することによって，完璧な性質と言えることを理解できている。 【クリック】コンピュータを使ってイメージしたあとなので，自分で考えて記述することが難しくても，「なんとか証明してみたい」という意欲の高まりがうかがえる。 そして、この意欲の高まりの中から、さらに多様な考え方を引き出すことができないか、検証授業その３を実施した。 【クリック　→次のスライドへ】 平成17年度移動教育センター（宮古）共同研究発表会（中学校数学）

平成17年度移動教育センター（宮古）共同研究発表会（中学校数学） 【資料P.16】 検証授業その３　パターン１ 三角形の内角の和＝180° を利用した証明 「２角が等しい三角形は，二等辺三角形である」の証明 ∠ADB＝１８０°－（∠ABD＋∠BAD） ∠ADC＝１８０°－（∠DAC＋∠ACD） 検証授業その３では、「２角が等しい三角形は、二等辺三角形である」という定理を証明したところ、４つのパターンの考え方が生徒から引き出すことができました。 【クリック】この生徒の作品がパターン１です。 【クリック】△ABDと　　【クリック】△ACDについて注目し、 【クリック】仮定より∠B＝∠C　　【クリック】ADは∠Aの二等分線なので、∠BAD＝∠CAD 【クリック】三角形の内角の和は180°なので、このような式が成り立ち、 【クリック】式の要素がそれぞれ黄色丸と、緑丸なので、 【クリック】∠ADB＝∠ADC 【クリック】となり、三角形の内角の和は180°であることを利用して証明しています。 【クリック　→次のスライドへ】 ∠ADB＝∠ADC 平成17年度移動教育センター（宮古）共同研究発表会（中学校数学）

平成17年度移動教育センター（宮古）共同研究発表会（中学校数学） 【資料P.16】 「三角形の外角はそれと隣り合わない 内角の和に等しい」という定理 を利用した証明 検証授業その３　パターン２ 「２角が等しい三角形は，二等辺三角形である」の証明 次に、パターン２です。 【クリック】これがパターン２の考え方で証明された生徒の作品です。 【クリック】△ABDにおいて、∠B＋∠BADは、三角形の内角と外角の関係より、 【クリック】∠CDAと等しくなります。 【クリック】△ACDにおいて、∠C＋∠CADも同様に考えて、 【クリック】∠BDAと等しくなります。 【クリック】これより 【クリック】∠BDA＝∠CDAとなります。 【クリック】パターン２では、「三角形の外角はそれと隣り合わない内角の和に等しい」という定理を用いて証明しています。 【クリック　→次のスライドへ】 ∠BDA＝∠CDA 平成17年度移動教育センター（宮古）共同研究発表会（中学校数学）

平成17年度移動教育センター（宮古）共同研究発表会（中学校数学） 「AD⊥BC」 であることを証明するところから，結論へせまろうとしている。 【資料P.17】 検証授業その３　パターン３ 「２角が等しい三角形は，二等辺三角形である」の証明 次はパターン３です。 【クリック】この生徒の作品では、証明が完成していませんが、 【クリック】ADとBCが垂直であるところから結論へせまろうとしています。 【クリック　→次のスライドへ】 平成17年度移動教育センター（宮古）共同研究発表会（中学校数学）

平成17年度移動教育センター（宮古）共同研究発表会（中学校数学） 【資料P.17】 検証授業その３　パターン4 「２角が等しい三角形は，二等辺三角形である」の証明 ∠B　＋∠C　＋∠BAD＋∠CAD＝１８０° ２（∠B　＋∠BAD）＝１８０° ∠B　＋∠BAD＝９０° これより∠ADB＝９０° 次はパターン４です。 【クリック】これがパターン４の生徒の作品ですが、 【クリック】まず△ABC全体に注目しています。この考え方がいままでのパターンと違いおもしろいです。 【クリック】∠B＝∠C 【クリック】∠BAD＝∠CAD 【クリック】次に△ABC全体の内角の和に注目し、∠B＋∠C＋∠BAD＋∠CAD＝180°この式の各要素が 【クリック】黄色丸と 【クリック】緑丸になっています。 【クリック】次に式をまとめて、∠B＋∠BAD全体の2倍＝180°とし、 【クリック】緑丸 【クリック】黄色丸が式の各要素に対応しており、 【クリック】両辺を２でわると、∠B＋∠BAD＝90°となって、 【クリック】これより∠ADB＝90° 【クリック】このように、パターン１～３とは違い、△ABC全体を考えて証明している。 【クリック　→次のスライドへ】 パターン1～３は，△ABDと△ACDに分けて 証明を考えていたが，この証明では， △ABCをまとめて考えて証明している。 本人も，証明できてスッキリしている。 平成17年度移動教育センター（宮古）共同研究発表会（中学校数学）

平成17年度移動教育センター（宮古）共同研究発表会（中学校数学） 【資料P.18】 検証授業その３　感想 検証授業その３の感想です。 【クリック】自分の力で最後まで証明することができた。等と記入されている。 【クリック　→次のスライドへ】 平成17年度移動教育センター（宮古）共同研究発表会（中学校数学）

平成17年度移動教育センター（宮古）共同研究発表会（中学校数学） 【資料P.18】 検証授業その３の考察 「２角が等しい三角形は，二等辺三角形である」の証明 多様な考え方を引き出すことができている。 コンピュータによるイメージで性質をつかんでいても，自分の言葉で証明していく事の難しさを感じているが，諦めようとせず，検証授業その2よりもさらに，「完璧な証明をしたい」という意欲の向上が見られる。 意欲の向上とともに，「証明できる喜び」の高まりも見られ，数学的活動の楽しさを味わっていることがわかる。 「証明」により，人に物事を論理的に説明する力をつけたいという意欲の高まりも見られる。 これらのことから考察すると 【クリック】多様な考え方を引き出すことができている。 【クリック】コンピュータによるイメージで性質をつかんでいても，自分の言葉で証明していく事の難しさを感じているが，諦めようとせず，検証授業その2よりもさらに，「完璧な証明をしたい」という意欲の向上が見られる。 【クリック】意欲の向上とともに，「証明できる喜び」の高まりも見られ，数学的活動の楽しさを味わっていることがわかる。 【クリック】「証明」により，人に物事を論理的に説明する力をつけたいという意欲の高まりも見られる。 【クリック　→次のスライドへ】 平成17年度移動教育センター（宮古）共同研究発表会（中学校数学）

平成17年度移動教育センター（宮古）共同研究発表会（中学校数学） 【資料P.18】 目次 テーマ設定理由および研究仮説 授業実践 成果と課題 目次に戻りまして、 【クリック】最後に、成果と課題について発表いたします。 【クリック　→次のスライドへ】 平成17年度移動教育センター（宮古）共同研究発表会（中学校数学）

平成17年度移動教育センター（宮古）共同研究発表会（中学校数学） 【資料P.18】 成果 数学的活動でコンピュータを活用した教材を取り入れたことにより， 生徒が意欲的かつ主体的に学習に取り組むことができた。 生徒の自由な発想で証明に取り組み多様な考え方を引き出すことができた。 性質を発見した喜びとさらなる別のアプローチによる証明方法を引き出したいという知的好奇心･探究心の高まりがうかがえた。 まず、成果ですが、 数学的活動でコンピュータを活用した教材を取り入れたことにより， 【クリック】生徒が意欲的かつ主体的に学習に取り組むことができた。 【クリック】生徒の自由な発想で証明に取り組み多様な考え方を引き出すことができた。 【クリック】性質を発見した喜びとさらなる別のアプローチによる証明方法を引き出したいという知的好奇心･探究心の高まりがうかがえた。 【クリック　→次のスライドへ】 平成17年度移動教育センター（宮古）共同研究発表会（中学校数学）

平成17年度移動教育センター（宮古）共同研究発表会（中学校数学） 【資料P.18】 今後の課題 　今回の実践だけでは，数学的な見方・考え方が十分に育成できたとは言い難いので，これからも生徒の実態に応じた学習課題と教材の開発を通し，どの単元でどのように実施したほうがよいか，さらに研究を進めていきたい。 大変長くなりましたが，最後まで発表を聞いてくださり，本当にありがとうございました。今日は，発表をお聞きくださった先輩方から，しっかり御指導をいただきまして，今後の研究に生かしていこうと思っておりますので，よろしくお願い致します。 これで，移動教育センター（宮古）共同研究中学校数学部会からの発表を終わります。 今後の課題は、 今回の実践だけでは，数学的な見方・考え方が十分に育成できたとは言い難いので，これからも生徒の実態に応じた学習課題と教材の開発を通し，どの単元でどのように実施したほうがよいか，さらに研究を進めていきたい。 【クリック】 大変長くなりましたが，最後まで発表を聞いてくださり，本当にありがとうございました。今日は，発表をお聞きくださった先輩方から，ぜひとも御指導をいただきまして，今後の研究に生かしていこうと思っておりますので，よろしくお願い致します。 これで，移動教育センター（宮古）共同研究中学校数学部会からの発表を終わります。 平成17年度移動教育センター（宮古）共同研究発表会（中学校数学）