４ 関数 y＝ax 2 １章　関数とグラフ §３　関数 y＝ax 2 の値の変化 　　　　　　　　（５時間）

§３ 関数 y＝ax 2 の値の変化 《一次関数 y＝ax＋b の値の増減》 a＞0 のとき、 y の値も増加する。 a＜0 のとき、 （右上がりの直線） b x O a＜0 のとき、 ・x の値が増加していくと、 y y の値は減少する。 （右下がりの直線） b x O

§３ 関数 y＝ax 2 の値の変化 《関数 y＝ax 2 の値の増減》 a＞0 のとき、 x≦0 の範囲で x≧0 の範囲で 減少する。 x≧0 の範囲で 増加する。 ・y の値は、x ＝0 のとき 最小になる。 ・x がどんな値をとっても、 x y≧0 である。 O a＜0 のとき、 ・x の値が増加していくと、y の値は、 y x≦0 の範囲で 増加する。 O x x≧0 の範囲で 減少する。 ・y の値は、x ＝0 のとき 最大になる。 ・x がどんな値をとっても、 y≦0 である。

《変域とグラフ》 y＝5×4 2 ＝80 y＝5×14 2 ＝980 980－80＝ 900 (m) 　また、そのグラフをかき、変域をいいなさい。 　ただし、物体が落ちる時間 x 秒と落ちる距離 y m の関係は、 y＝5x 2 の式で表される。 　　４秒後の落下距離 y＝5×4 2 ＝80 　１４秒後の落下距離 y＝5×14 2 ＝980 　１０秒間の落下距離 980－80＝ 900 (m)

x y O 5 10 15 500 1000 y＝5x 2 980 80 4 14

《変域とグラフ》 y＝5×4 2 ＝80 y＝5×14 2 ＝980 980－80＝900 (m) 80≦ y ≦980 　上空 3000m からスカイダイビングをし、４秒後から１０秒間、演技をするとき、その１０秒間に落下する距離は何mでしょうか。 　また、そのグラフをかき、変域をいいなさい。 　ただし、物体が落ちる時間 x 秒と落ちる距離 y m の関係は、 y＝5x 2 の式で表される。 　　４秒後の落下距離 y＝5×4 2 ＝80 　１４秒後の落下距離 y＝5×14 2 ＝980 　１０秒間の落下距離 980－80＝900 (m) 　 y の変域 80≦ y ≦980

《例①》 1 4 0≦ y ≦4 《P85 解答 ②》 1 4 y 関数 y＝―x 2 (-2≦ x ≦4) ・グラフ ・ y の変域 x O -5 5 1 y＝－ x 2 4 1 関数 y＝―x 2 (-2≦ x ≦4)　 4 ・グラフ 4 ・ y の変域 0≦ y ≦4 1 《P85 解答 ②》 -2 4 1 関数 y＝－―x 2 (-4≦ x ≦2)　 4

《P85 解答 ③》 x y O -5 5 -30 10 -20 -10 20 30

《変化の割合》 y の増加量 x の増加量 y＝2x－1 の場合 x y y x の増加量に対する y の増加量の割合 O 5 -5 10 x の増加量に対する y の増加量の割合 y＝2 x－1 y の増加量 変化の割合＝――――― x の増加量 ・一次関数 y＝ax＋b では、 2 変化の割合＝ a , a は一定 1 y＝2x－1 の場合 2 1 1 1 1 1 x -1 ０ １ ２ ３ 2 ・・・ ・・・ y -3 -1 １ ３ ５ 1 ・・・ ・・・ 2 2 2 2 2 1 変化の割合は、つねに２で、 グラフでは直線の傾きになっている。

y＝x 2 の場合 x y 1, 3, 5, 7, 9, ･･････は、 y ・関数 y＝ax 2 x の値が 1 ずつ増加していくときの O 5 -5 10 y＝x 2 y＝x 2 の場合 C 1 1 1 1 1 x ０ １ ２ ３ ４ ５ ・・・ y ０ １ ４ ９ 16 25 5 ・・・ 1 3 5 7 9 B x の値が 1 ずつ増加していくときの y の増加量は一定ではない。 1 3 1, 3, 5, 7, 9, ･･････は、 それぞれ、x の増加量が 1 のときの変化の割合である。 A 1 1 1 これらは、右のグラフでは、 直線OA, AB, BC, ･･････の傾きになっている。

《変化の割合２》 y＝x 2 x y y の増加量 x の増加量 3 2－1 2 ＝―――― 3－1 9－1 ＝――― 3－1 8 ＝― 2 O 5 -5 10 y＝x 2 y＝x 2 ① x の値が１から３まで 　増加するとき 2 x １ ３ 8 y １ ９ 8 y の増加量 変化の割合＝――――― x の増加量 2 3 2－1 2 ＝―――― 3－1 9－1 ＝――― 3－1 8 ＝― 2 ＝4

関数 y＝ax 2 では、変化の割合は一定ではない。 ３ ５ y ９ 25 16 変化の割合＝ 5 2－3 2 　―――― 5－3 25－9 ＝――― 5－3 16 ＝―― 2 ＝8 ③ x の値が－4 から－2 まで増加するとき 2 x -4 -2 y 16 ４ -12 変化の割合＝ (－2) 2－(－4) 2 　―――――― －2－(－4) 4－16 ＝――― －2＋4 －12 ＝――― 2 ＝－6 関数 y＝ax 2 では、変化の割合は一定ではない。

《平均の速さ》 進んだ距離 かかった時間 y の増加量 (＝――――― ) x の増加量 x y 5×4 2－5×2 2 ―――――― 　上空からスカイダイビングをしたとき、次の場合の平均の速さを求めなさい。 　ただし、平均の速さは、次の式で求められる。 進んだ距離 平均の速さ＝―――――― かかった時間 y の増加量 (＝――――― ) x の増加量 ① ２秒後から４秒後までの平均の速さ 2 x ２ ４ y 20 80 60 平均の速さ＝ 5×4 2－5×2 2 　―――――― 4－2 80－20 ＝―――― 4－2 60 ＝―― 2 ＝30 平均の速さは、30ｍ/秒

x y O 5 10 15 500 1000 y＝5x 2

45－20 ―――― 3－2 25 ＝―― 1 ＝25 x y 80－45 ―――― 4－3 35 ＝―― 1 ＝35 x y ② ２秒後から３秒後まで 1 平均の速さ＝ 45－20 　―――― 3－2 25 ＝―― 1 ＝25 x ２ ３ y 20 45 平均の速さは、25ｍ/秒 25 ③ ３秒後から４秒後まで 1 平均の速さ＝ 80－45 　―――― 4－3 35 ＝―― 1 ＝35 x ３ ４ y 45 80 平均の速さは、35ｍ/秒 35 ④ 2.9 秒後から３秒後まで 0.1 平均の速さ＝ 45－42.05 　――――― 3－2.9 2.95 ＝―― 0.1 ＝29.5 x 2.9 ３ y 42.05 45 平均の速さは、29.5ｍ/秒 2.95

x y O 5 10 15 500 1000 y＝5x 2

《一次関数 y＝ax＋b と 関数 y＝ax 2 の特徴》 グラフの形 直線 放物線 a＞0 y a＞0 y 増加 減少 増加 b x x y の値の 増減 O O x ＝0 のとき、y の値は最小 最小 a＜0 y a＜0 y O x b 減少 増加 減少 x O x ＝0 のとき、y の値は最大 最大 変化の割合 一定で a に等しい 一定ではない

《P89 練習解答 ①》 (1) y＝3x 2 (2) y＝－3x 2 《P90 問題解答 １》 ① ② ③

《P90 問題解答 ２》 (1) (2) 《P90 問題解答 ３》 (1) y＝x 2 (-2≦ x ≦1) (2) y＝－2x 2 (-2≦ x ≦1)

《P90 問題解答 ４》 1 y＝－―x 2 2 (1) １から３まで (2) －３から－１まで

《P91 問題解答 ５》 (1) 《P91 問題解答 ６》 (1)

０ ２ ４ ６ ８ 10 cm

０ ２ ４ ６ ８ 10 cm

０ ２ ４ ６ ８ 10 cm

０ ２ ４ ６ ８ 10 cm

０ ２ ４ ６ ８ 10 cm

０ ２ ４ ６ ８ 10 cm

０ ２ ４ ６ ８ 10 cm

(2) x y O 5 -10 10 20 30 40 50 (3)

《P91 問題解答 ７》 x y O x y O -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -1 -2 1 2 3 4 5 6

《P92 深めてみよう １》 1 y＝－x 2 2 (1) x y O (2) (3) B A C -2 4

END