第１回、平成２２年6月30日 ー ＦＥＭ解析のための連続体力学入門 － 応力とひずみ 解説者：園田 恵一郎
第1回勉強会の概要 1.1 応力とは？ 1.2 ひずみとは？ 1.3 応力とひずみの関係 1.4 テンソルとは何か？ 1.5 テンソルの演算則 1.6 主応力と応力不変量 1.7 モール円について 1.8 ＦＥＭ解析での応力不変量の意義 1.9 材料特性の応力不変量による表現
応力とは何ですか？ 応力は物体に働く内力でひずみを起こす力である。 応力の単位：N/mm2、ｋｇｆ/ｃｍ２で 単位面積当たりの力である。
ひずみとは？ 変位、変形との違い？ ひずみは単位長さの要素の変形量である。
ひずみの定義 微小変位・ひずみ場： 有限変位・ひずみ場： ベクトル表示： ２次元問題
微小変位場における応力とひずみ 直応力と直ひずみ せん断応力とせん断ひずみ 変位 ベクトル表示：
応力とひずみの関係 εz＝０ (1)平面ひずみ問題（トンネル、地盤など） (2)平面応力問題（板、平面はりなど） σz＝０ 材料のσ－ε曲線
平面応力問題（ ） 平面ひずみ問題（ ） 線形弾性体の場合 3次元応力問題
テンソルとは何か？ 一定の直交座標変換則に従う物理量 テンソルとは何か？ 一定の直交座標変換則に従う物理量 方向余弦： ,i=1,2,3, j=1, 2,3 ベクトル：変位、速度、力など 応力テンソル（2階） ひずみテンソル(2階）
応力またはひずみテンソル（2階）の要素 σij、 応力テンソル ひずみテンソル 第1添字(i)は作用面 第2添字(j)は方向 対称性：σij＝σji ひずみテンソル 変位ベクトル 注意：
テンソルの演算則 単位テンソル： スカラー： ベクトル： ２階のテンソル： 総和規約： ひずみエネルギー： 微分： 釣り合い式： 材料の構成則： ：弾性構成テンソル（４階）
主応力と応力不変量 つりあい条件 主応力面 応力不変量 固有方程式 Cardanoの方法で3実根σの決定
主応力の大きさと方向の求め方 Cardanoの方法 (1) を代入すれば、 (2) ただし、 式(2)の3根は、 3実根 より を決定
２次元応力場での座標変換 σｘ、σｙ：直応力、τｘｙτｙｘ：せん断応力 σｘ’、σｙ’：直応力、τｘ’ｙ’τｙ’ｘ’：せん断応力 共役関係：τxy=τyx， τx’y’=τy’x’
座標変換による応力の特性 変位： 応力 T: 座標変換行列 2階のテンソル １階のテンソル（ベクトル）
モール円と主応力(2次元） R 半径： 中心：
モール円の描き方と主応力の求め方 応力不変量： １次 2次
例題
偏差応力： 偏差応力の2次不変量 材料強度の特性 3次元モール円と応力不変量の意義
応力不変量の意義？鋼材の降伏規準
２軸応力状態でのコンクリートの破壊基準 Ottosenの基準(1977) Ottosenの基準 実験値 ：相似角 対称軸
Drucker-Prager式 主応力空間 π平面上 モール・クーロン式 Drucker-Prager式
汎用ソフト：MSC.Markでの取り使いの留意点 適用降伏・破壊基準： （１）線形モール･クーロン式（Drucker-Prager式） 材料係数： と粘着力と内部摩擦角に関連付けているが，これは平面ひずみ問題のみに適用できる．Tension cutoffが必要である． (2)放物線モール・クーロン式 (3)Buyukozturk式 （注）高3軸圧縮応力問題には適用できない． 硬化則は等方硬化則，移動硬化則が紹介されているが，これらは適用できないので，前述の混合硬化則の定式化が必要になるものと思われる．