５ 図形と相似 １章　図形と相似 §４　平行線と線分の比 　　　　　　　　（５時間）

§４ 平行線と線分の比 《板の分割１》 　次ような板を、幅が１：２：４になるように分割しなさい。

§４ 平行線と線分の比 《板の分割２》 　次は、わり算を使わずに定規だけで分割しなさい。

§４ 平行線と線分の比 《板の分割２》 　次は、わり算を使わずに定規だけで分割しなさい。

§４ 平行線と線分の比 《板の分割２》 　次は、わり算を使わずに定規だけで分割しなさい。

§４ 平行線と線分の比 《まとめ１》

§４ 平行線と線分の比 《まとめ１》

§４ 平行線と線分の比 《まとめ２》

(1) PQ // BC ならば、 AP : AB＝AQ : AC＝PQ : BC 平行線と線分の比 △ABC で、辺AB, AC 上に、それぞれ、点P, Q があるとき、 P Q (1) PQ // BC ならば、 AP : AB＝AQ : AC＝PQ : BC B C

(1) PQ // BC ならば、 AP : AB＝AQ : AC＝PQ : BC (2) PQ // BC ならば、 平行線と線分の比 A B C △ABC で、辺AB, AC 上に、それぞれ、点P, Q があるとき、 P Q (1) PQ // BC ならば、 AP : AB＝AQ : AC＝PQ : BC (2) PQ // BC ならば、 AP : PB＝AQ : QC

(1) PQ // BC ならば、 AP : AB＝AQ : AC＝PQ : BC (2) PQ // BC ならば、 平行線と線分の比 A B C △ABC で、辺AB, AC 上に、それぞれ、点P, Q があるとき、 P Q (1) PQ // BC ならば、 AP : AB＝AQ : AC＝PQ : BC (2) PQ // BC ならば、 AP : PB＝AQ : QC

《平行線と線分の比(1)の証明１》 AP : AB＝AQ : AC＝PQ : BC 4 : 12＝AQ : 9 4cm △APQ と △ABC で ∠APQ＝∠ABC P Q 12cm 9cm ∠AQP＝∠ACB ２角相等で、 △APQ∽△ABC B C 10.5cm よって、 AP : AB＝AQ : AC＝PQ : BC 各辺の長さを代入して、 4 : 12＝AQ : 9 4 : 12＝PQ : 10.5 12AQ＝4×9 12PQ＝4×10.5 4×9 AQ＝―――＝3 (cm) 12 4×10.5 PQ＝――――＝3.5 (cm) 12

《平行線と線分の比(1)の証明２》 AP’ : AB＝AQ’ : AC AP’ : AB＝P’Q’ : BC △AP’Q’ と △ABC で ∠AQ’P’＝∠ACB A ２角相等で、 △AP’Q’∽△ABC よって、 AP’ : AB＝AQ’ : AC AP’ : AB＝P’Q’ : BC B C P’ Q’

AP” : AB＝AQ” : AC＝P”Q” : BC 《平行線と線分の比(1)の証明２》 A B C P’ Q’ △AP’Q’ と △ABC で ∠AP’Q’＝∠ABC ∠AQ’P’＝∠ACB ２角相等で、 △AP’Q’∽△ABC よって、 AP’ : AB＝AQ’ : AC AP’ : AB＝P’Q’ : BC Q” P” △AP”Q” と △ABC も同様にして、 △AP”Q”∽△ABC よって、 AP” : AB＝AQ” : AC＝P”Q” : BC

AP” : AB＝AQ” : AC＝P”Q” : BC 《平行線と線分の比(1)の証明２》 A B C P’ Q’ △AP’Q’ と △ABC で ∠AP’Q’＝∠ABC ∠AQ’P’＝∠ACB ２角相等で、 △AP’Q’∽△ABC よって、 AP’ : AB＝AQ’ : AC AP’ : AB＝P’Q’ : BC P” Q” △AP”Q” と △ABC も同様にして、 △AP”Q”∽△ABC AP” : AB＝AQ” : AC＝P”Q” : BC

《P106 解答 ①》 A P Q B C

《平行線と線分の比(2)の証明》 点P を通って、辺AC に平行な直線が BC と交わる点を R とする。 A P Q B R C A B

《平行線と線分の比(2)の証明》 AP : PB＝AQ : PR PR＝QC AP : PB＝AQ : QC 点P を通って、辺AC に平行な直線が BC と交わる点を R とする。 P Q △APQ と △PBR で ∠APQ＝∠PBR ∠PAQ＝∠BPR ２角相等で、 B R C △APQ∽△PBR よって、 AP : PB＝AQ : PR 四角形PRCQ は平行四辺形だから、 PR＝QC したがって、 AP : PB＝AQ : QC

《平行線と線分の比(2)の証明》 AP : PB＝AQ : PR PR＝QC AP : PB＝AQ : QC 点P を通って、辺AC に平行な直線が BC と交わる点を R とする。 R △APQ と △PBR で ∠APQ＝∠PBR ∠PAQ＝∠BPR ２角相等で、 △APQ∽△PBR よって、 AP : PB＝AQ : PR 四角形PRCQ は平行四辺形だから、 PR＝QC したがって、 AP : PB＝AQ : QC

《平行線と交わる直線》 AB : BC＝A’B’ : B’C’ AB : A’B’＝BC : B’C’ (1) (2) A A’ B B’

《平行線と交わる直線(1)の証明》 BD // CE だから、 AB : BC＝AD : DE AD＝A’B’ , DE＝B’C’ 　Aを通り、直線A’C’に平行な直線を引き、直線BB’, CC’ との交点を、それぞれ D, E とする。 A A’ B D B’ △ACE で、 BD // CE だから、 C E C’ AB : BC＝AD : DE 四角形ADB’A’, DEC’B’はともに平行四辺形だから、 AD＝A’B’ , DE＝B’C’ したがって、 AB : BC＝A’B’ : B’C’

《平行線と交わる直線(1)の証明》 BD // CE だから、 AB : BC＝AD : DE AD＝A’B’ , DE＝B’C’ 　Aを通り、直線A’C’に平行な直線を引き、直線BB’, CC’ との交点を、それぞれ D, E とする。 △ACE で、 BD // CE だから、 AB : BC＝AD : DE 四角形ADB’A’, DEC’B’はともに平行四辺形だから、 AD＝A’B’ , DE＝B’C’ したがって、 AB : BC＝A’B’ : B’C’

《平行線と交わる直線(1)の証明（別解） 》 　A , C’を通る直線を引き、直線BB’ との交点を、 D とする。 A A’ B D B’ △ACC’ で、 BD // CC’ だから、 AB : BC＝AD : DC’ C C’

《平行線と交わる直線(1)の証明（別解） 》 A B C A’ B’ C’ D 　A , C’を通る直線を引き、直線BB’ との交点を、 D とする。 △ACC’ で、 BD // CC’ だから、 AB : BC＝AD : DC’ また、△C’AA’ で、 DB’ // AA’ だから、 AD : DC’＝A’B’ : B’C’ したがって、

《平行線と交わる直線(1)の証明（別解） 》 A B C A’ B’ C’ D 　A , C’を通る直線を引き、直線BB’ との交点を、 D とする。 △ACC’ で、 BD // CC’ だから、 AB : BC＝AD : DC’ また、△C’AA’ で、 DB’ // AA’ だから、 AD : DC’＝A’B’ : B’C’ したがって、 AB : BC＝A’B’ : B’C’

《平行線と交わる直線(1)の証明（別解） 》 A B C A’ B’ C’ D 　A , C’を通る直線を引き、直線BB’ との交点を、 D とする。 △ACC’ で、 BD // CC’ だから、 AB : BC＝AD : DC’ また、△C’AA’ で、 DB’ // AA’ だから、 AD : DC’＝A’B’ : B’C’ したがって、 AB : BC＝A’B’ : B’C’

―― は、BC : B’C’ の比の値であるから、 《平行線と交わる直線(2)の証明》 (1)の証明１より、 A A’ AB : BC＝A’B’ : B’C’ B これより、 B’ AB･B’C’＝A’B’･BC 両辺を A’B’･B’C’ でわると、 AB BC ――＝―― A’B’ B’C’ C C’ AB ―― は、AB : A’B’ の比の値であり、 A’B’ BC ―― は、BC : B’C’ の比の値であるから、 B’C’ AB : A’B’＝BC : B’C’

―― は、BC : B’C’ の比の値であるから、 《平行線と交わる直線(2)の証明》 A B C A’ B’ C’ (1)の証明１より、 AB : BC＝A’B’ : B’C’ これより、 AB･B’C’＝A’B’･BC 両辺を A’B’･B’C’ でわると、 AB BC ――＝―― A’B’ B’C’ AB ―― は、AB : A’B’ の比の値であり、 A’B’ BC ―― は、BC : B’C’ の比の値であるから、 B’C’ AB : A’B’＝BC : B’C’ a : b＝a’ : b’ a : a’＝b : b’ さらに、

―― は、BC : B’C’ の比の値であるから、 《平行線と交わる直線(2)の証明》 A B C A’ B’ C’ (1)の証明１より、 AB : BC＝A’B’ : B’C’ これより、 AB･B’C’＝A’B’･BC 両辺を A’B’･B’C’ でわると、 AB BC ――＝―― A’B’ B’C’ AB ―― は、AB : A’B’ の比の値であり、 A’B’ BC ―― は、BC : B’C’ の比の値であるから、 B’C’ AB : A’B’＝BC : B’C’ D D’ a : b＝a’ : b’ a : a’＝b : b’ さらに、 AB : A’B’＝BC : B’C’＝CD : C’D’

《P109 解答 ④》 p xcm 18cm zcm q 27cm 30cm r 9cm ycm 8cm s

(1) AP : AB＝AQ : ACならば、 PQ // BC 線分の比と平行線 △ABC で、辺AB, AC 上に、それぞれ、点P, Q があるとき、 P Q (1) AP : AB＝AQ : ACならば、 PQ // BC B C

(1) AP : AB＝AQ : ACならば、 PQ // BC (2) AP : PB＝AQ : QCならば、 PQ // BC 線分の比と平行線 A B C △ABC で、辺AB, AC 上に、それぞれ、点P, Q があるとき、 P Q (1) AP : AB＝AQ : ACならば、 PQ // BC (2) AP : PB＝AQ : QCならば、 PQ // BC

(1) AP : AB＝AQ : ACならば、 PQ // BC (2) AP : PB＝AQ : QCならば、 線分の比と平行線 △ABC で、辺AB, AC 上に、それぞれ、点P, Q があるとき、 P Q (1) AP : AB＝AQ : ACならば、 PQ // BC (2) AP : PB＝AQ : QCならば、

《線分の比と平行線(1)の証明》 AP : AB＝AQ : AC PQ // BC △APQ と △ABC で ∠PAQ＝∠BAC ２辺の比と夾角相等で、 △APQ∽△ABC B C 相似な三角形なので、 ∠APQ＝∠ABC 同位角が等しいので、 PQ // BC

《線分の比と平行線(2)の証明》 AP : CR＝AQ : CQ AP : PB＝AQ : QC AP : PB＝AP : CR PB＝CR 点C から BA に平行な直線をひき、直線 PQ との交点を R とする。 R P Q △APQ と △CRQ で ∠PAQ＝∠RCQ ∠AQP＝∠CQR B C △APQ∽△CRQ ２角相等で、 AP : CR＝AQ : CQ よって、 また、仮定から、 AP : PB＝AQ : QC だから、 AP : PB＝AP : CR これらより、 PB＝CR PB＝CR , PB // CR だから、 四角形PBCRは平行四辺形、 したがって、 PQ // BC

《線分の比と平行線(2)の証明（別解）》 AP : PB＝AQ : QC AP : PB : AB＝ m : n : (ｍ＋n) 仮定より、 AP : PB＝AQ : QC P Q この比を、m : n とすると、 AP : PB : AB＝ m : n : (ｍ＋n) AQ : QC : AC＝ m : n : (ｍ＋n) よって、 B C AP : AB＝AQ : AC＝ m : (ｍ＋n) 平行線と交わる直線(1)の証明より PQ // BC

《P111 解答 ⑥》 O P R Q A C B

《P111 練習解答 ①》 A P D B E Q C R F

《P111 練習解答 ②》

END