５ 図形と合同 ２章　平行四辺形 §１　平行四辺形 　　　　　　　　（５時間）

§１ 平行四辺形 《平行四辺形をかこう》 A D O B C 平行四辺形ABCD を、 ABCD と書くことがある。

《平行四辺形の定義》 ２組の向かいあう辺が、それぞれ平行な四角形を平行四辺形という。 平行四辺形の性質 ① 平行四辺形の向かいあう辺は 　２組の向かいあう辺が、それぞれ平行な四角形を平行四辺形という。 平行四辺形の性質 ① 平行四辺形の向かいあう辺は 等しい。 ② 平行四辺形の向かいあう角は 等しい。 ③ 平行四辺形の対角線は、それ ぞれの中点で交わる。

《平行四辺形の性質①の証明》 AB // DC , AD // BC AB＝DC , AD＝BC AB //DC だから、 四角形ABCD で、 【仮定】 AB // DC , AD // BC 【結論】 AB＝DC , AD＝BC 【証明】 B C A D △ABC と△CDA で、 AB //DC だから、 ∠BAC＝∠DCA AD //BC だから、 B C ∠BCA＝∠DAC また、 AC＝CA １辺両端角(２角夾辺)相等で、 △ABC≡△CDA よって、 AB＝CD , BC＝DA

《平行四辺形の性質②の証明》 AB // DC , AD // BC 四角形ABCD で、 【仮定】 【結論】 ∠A＝∠C , ∠B＝∠D 【証明】 B C A D 性質①の証明より △ABC≡△CDA だから、 ∠B＝∠D ∠BAC＝∠DCA , ∠BCA＝∠DAC だから、 B C ∠BAC＋∠DAC＝∠DCA＋∠BCA ∠BAD＝∠DCB

《平行四辺形の性質②の証明》 AB // DC , AD // BC 四角形ABCD で、 【仮定】 【結論】 ∠A＝∠C , ∠B＝∠D 【証明】 性質①の証明より △ABC≡△CDA だから、 ∠B＝∠D ∠BAC＝∠DCA , ∠BCA＝∠DAC だから、 ∠BAC＋∠DAC＝∠DCA＋∠BCA ∠BAD＝∠DCB ∠A＝∠C

《平行四辺形の性質②の証明２》 AB // DC , AD // BC ＝∠BCD （錯角） ＝∠C ＝∠DCF （同位角） 四角形ABCD で、 A B C D 【仮定】 AB // DC , AD // BC 【結論】 ∠A＝∠C , ∠B＝∠D 【証明】 A D 辺AB の延長上に点E、 辺BC の延長上に点F をとって、 ∠A＝ ∠CBE　（同位角） B ＝∠BCD　（錯角） C F ＝∠C E ∠B ＝ ∠ABC ＝∠DCF　（同位角） ＝∠DCF　（錯角）

《平行四辺形の性質③の証明》 AB // DC , AD // BC AO＝CO , BO＝DO AB //DC だから、 AB＝CD 【仮定】 AB // DC , AD // BC O 【結論】 AO＝CO , BO＝DO B C 【証明】 A D △ABO と△CDO で、 AB //DC だから、 O ∠BAO＝∠DCO ∠ABO＝∠CDO B C 平行四辺形の向かいあう辺は等しいので、 AB＝CD １辺両端角(２角夾辺)相等で、 △ABO≡△CDO よって、 AO＝CO , BO＝DO だから、平行四辺形の対角線は、それぞれの中点で交わる。

《平行四辺形になる条件》 AB＝DC＝4cm , AD＝BC＝6cm 次のような四角形ABCD を、かいてみよう。 ① ２組の向かいあう辺が、それぞれ等しい。 AB＝DC＝4cm , AD＝BC＝6cm A D B C

《平行四辺形になる条件》 AB＝DC＝4cm , AD＝BC＝6cm 次のような四角形ABCD を、かいてみよう。 ① ２組の向かいあう辺が、それぞれ等しい。 AB＝DC＝4cm , AD＝BC＝6cm

《平行四辺形になる条件》 AB＝DC＝4cm , AD＝BC＝6cm 次のような四角形ABCD を、かいてみよう。 ① ２組の向かいあう辺が、それぞれ等しい。 AB＝DC＝4cm , AD＝BC＝6cm

《平行四辺形になる条件》 AB＝DC＝4cm , AD＝BC＝6cm 次のような四角形ABCD を、かいてみよう。 ① ２組の向かいあう辺が、それぞれ等しい。 AB＝DC＝4cm , AD＝BC＝6cm

《平行四辺形になる条件》 AB＝DC＝4cm , AD＝BC＝6cm 次のような四角形ABCD を、かいてみよう。 ① ２組の向かいあう辺が、それぞれ等しい。 AB＝DC＝4cm , AD＝BC＝6cm

《平行四辺形になる条件》 AB＝DC＝4cm , AD＝BC＝6cm 次のような四角形ABCD を、かいてみよう。 ① ２組の向かいあう辺が、それぞれ等しい。 AB＝DC＝4cm , AD＝BC＝6cm

《平行四辺形になる条件》 AB＝DC＝4cm , AD＝BC＝6cm 次のような四角形ABCD を、かいてみよう。 ① ２組の向かいあう辺が、それぞれ等しい。 AB＝DC＝4cm , AD＝BC＝6cm

《平行四辺形になる条件》 AB＝DC＝4cm , AD＝BC＝6cm 次のような四角形ABCD を、かいてみよう。 ① ２組の向かいあう辺が、それぞれ等しい。 AB＝DC＝4cm , AD＝BC＝6cm

《平行四辺形になる条件》 次のような四角形ABCD を、かいてみよう。 ② 向かいあう角が、それぞれ等しい。 ∠A＝∠C＝110º , ∠B＝∠D＝70º D A B C

《平行四辺形になる条件》 AO＝CO＝3cm , BO＝DO＝5cm 次のような四角形ABCD を、かいてみよう。

《平行四辺形になる条件》 AD // BC , AD＝BC＝6cm 次のような四角形ABCD を、かいてみよう。 ④ １組の向かいあう辺が、等しくて平行である AD // BC , AD＝BC＝6cm A D B C

《平行四辺形になる条件①の証明》 AB＝DC , AD＝BC AB // DC , AD // BC AB＝CD BC＝DA AC＝CA 【仮定】 AB＝DC , AD＝BC 【結論】 AB // DC , AD // BC 【証明】 B C A D △ABC と△CDA で、 AB＝CD BC＝DA また、 AC＝CA B C ３辺相等で、 A D △ABC≡△CDA よって、 ∠BAC＝∠DCAだから、 AB // DC また、 ∠ACB＝∠CADだから、 B C AD // BC

《平行四辺形になる条件②の証明》 AB // DC , AD // BC AD // BC AB // DC 四角形ABCD で、 【仮定】 ∠A＝∠C , ∠B＝∠D 【結論】 AB // DC , AD // BC B 【証明】 C E 辺AB の延長上に点E をとる。 ∠A＝∠C , ∠B＝∠D だから、 ∠A＋∠B＝∠C＋∠D ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360º だから、 ∠A＋∠B＝180º また、∠B＋∠CBE＝180º だから、 ∠A＝∠CBE よって、同位角が等しいので、 AD // BC また、∠C＝∠A＝∠CBE で、錯角が等しいので、 AB // DC

《平行四辺形になる条件③の証明》 AO＝CO , BO＝DO AB // DC , AD // BC AO＝CO BO＝DO AB＝CD 【仮定】 AO＝CO , BO＝DO O 【結論】 AB // DC , AD // BC B C 【証明】 A D △ABO と△CDO で、 AO＝CO BO＝DO O ∠AOB＝∠COD（対頂角） B C ２辺夾角相等で、 △ABO≡△CDO よって、 AB＝CD ････････① 同じようにして、△ADO と△CBO で、 △ADO≡△CBO よって、 AD＝CB ････････② ①、②から、条件①より、四角形ABCD は、 平行四辺形である。

《平行四辺形になる条件④の証明》 AD // BC , AD＝BC AB // DC , AD // BC BC＝AD AC＝CA 四角形ABCD で、 【仮定】 AD // BC , AD＝BC 【結論】 AB // DC , AD // BC 【証明】 B C A D △ABC と△CDA で、 BC＝AD ････････① AC＝CA ∠ACB＝∠CAD B C ２辺夾角相等で、 △ABC≡△CDA よって、 AB＝CD ････････② ①、②から、条件①より、四角形ABCD は、 平行四辺形である。

平行四辺形になる条件 四角形は、次の各場合に平行四辺形である。 ○ ２組の向かいあう辺が、それぞれ平行であるとき 　 （定義） ① ２組の向かいあう辺が、それぞれ等しいとき ② ２組の向かいあう角が、それぞれ等しいとき ③ 対角線が、それぞれの中点で交わるとき ④ １組の向かいあう辺が、等しくて平行であるとき

《P126 解答⑦》 (1) (2) (3)

《例題①》 ABCD の対角線の交点を O とすると、 AO＝CO BO＝DO PO＝QO RO＝SO ････････① ････････② Q R ①と AP＝CQ から、 B C PO＝QO ････････③ ②と BR＝DS から、 RO＝SO ････････④ ③、④から、対角線が、それぞれの中点で交わるので、四角形 PRQS は平行四辺形である。

《P126 解答⑧》 A M D B N C

《長方形、ひし形、正方形》 ・長方形、ひし形、正方形の定義 長方形 ４つの角が等しい 四角形 ひし形 ４つの辺が等しい 四角形 正方形 平行四辺形 長方形 ４つの角が等しい 四角形 長方形 ひし形 ひし形 ４つの辺が等しい 四角形 正方形 正方形 ４つの角が等しく、４つの辺が等しい 四角形 ・長方形、ひし形、正方形は平行四辺形である 長方形 ２組の向かいあう角が、それぞれ等しい 　　　　　（平行四辺形になる条件②） ひし形 ２組の向かいあう辺が、それぞれ等しい 　　　　　（平行四辺形になる条件①） 正方形 平行四辺形になる条件①または②より

③ 正方形の対角線の長さは等しく、垂直に交わる。 ・長方形、ひし形、正方形の対角線 A D A A D B D O O O B C C B C 対角線についての性質 ① 長方形の対角線の長さは等しい。 ② ひし形の対角線は垂直に交わる。 ③ 正方形の対角線の長さは等しく、垂直に交わる。

《P127 練習解答①》 (1) A D B C (2)

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